Geometri: figurer, formler och grunder (komplett guide)

Geometri är den gren av matematiken som handlar om figurer: deras form, storlek, läge och hur de förhåller sig till varandra. Allt från en enkel punkt och en rak linje till trianglar, cirklar och tredimensionella kroppar hör hit. Den här guiden ger dig en samlad överblick över hela geometrin, vad de viktigaste figurerna är, vilka formler du behöver kunna och var du hittar en djupgående genomgång för varje del.

Vad är geometri?

Ordet geometri kommer från grekiskans geo (jord) och metria (mätning), alltså "jordmätning". Redan de gamla grekerna, med Euklides i spetsen, byggde upp geometrin som ett logiskt system där allt utgår från några enkla grundbegrepp. Idag är geometri en av de mest användbara delarna av matematiken, du möter den i allt från arkitektur och teknik till spel och design.

Geometrin brukar delas in i två huvuddelar. Plangeometri handlar om tvådimensionella figurer i ett plan, som trianglar, fyrhörningar och cirklar. Rymdgeometri handlar om tredimensionella kroppar som kuber, cylindrar och klot. I båda fallen är målet ofta detsamma: att beskriva figurerna och räkna ut storheter som area, omkrets och volym. Geometri är också ett återkommande område på högskoleprovets matematikdel.

Det som gör geometrin så användbar är att den är logisk och förutsägbar. När du väl förstår en formel eller ett samband fungerar det likadant varje gång, oavsett hur uppgiften är formulerad. Geometri handlar därför mer om att känna igen vilken figur du har framför dig och välja rätt formel, än om att lära sig massor av specialfall utantill. Du möter dessutom geometri i vardagen hela tiden, i allt från hur ett rum är möblerat till hur en förpackning utformas för att rymma så mycket som möjligt.

Geometrins byggstenar: punkter, linjer och vinklar

All geometri byggs upp av några grundläggande begrepp. En punkt anger ett läge utan storlek. En linje är rak och oändligt lång, medan en sträcka är en bit av en linje med två ändpunkter. När två sträckor möts i en punkt bildas en vinkel, som mäts i grader.

Vinklar delas in efter sin storlek, och de namnen återkommer ständigt:

En av geometrins viktigaste regler är vinkelsumman. I varje triangel är summan av de tre vinklarna alltid 180°, och i varje fyrhörning är summan 360°. Det sambandet använder du om och om igen för att räkna ut vinklar du inte känner till.

Två andra begrepp dyker upp ofta. Parallella linjer håller alltid samma avstånd och möts aldrig, medan vinkelräta linjer korsar varandra i exakt 90°. När två vinklar tillsammans bildar 90° kallas de komplementvinklar, och bildar de tillsammans 180° är de supplementvinklar. Sådana samband låter dig kedja ihop kända och okända vinklar i samma figur.

Trianglar

Triangeln är geometrins mest grundläggande figur: tre sidor, tre hörn och en vinkelsumma på 180°. Trianglar delas in efter sina sidor och vinklar. En liksidig triangel har tre lika sidor, en likbent triangel har två lika sidor (och två lika basvinklar), och en rätvinklig triangel har en rät vinkel på 90°.

Arean räknar du ut med samma formel oavsett typ av triangel:

Ett exempel: en triangel med basen 8 cm och höjden 5 cm har arean (1/2) · 8 · 5 = 20 cm². Tänk på att höjden alltid är det vinkelräta avståndet från basen upp till motstående hörn, inte längden på en lutande sida, det är ett av de vanligaste felen.

I en rätvinklig triangel hänger sidorna ihop genom Pythagoras sats, vilket gör att du kan räkna ut en sida om du känner de andra två. Det utnyttjas också för att hitta höjden i andra trianglar.

Fyrhörningar

En fyrhörning har fyra sidor och en vinkelsumma på 360°. De vanligaste fyrhörningarna har var sin areaformel som är värd att kunna utantill:

Lägg märke till att kvadraten är ett specialfall av rektangeln, som i sin tur är ett specialfall av parallellogrammen. Många geometriska figurer hänger ihop på det sättet.

Cirklar

Cirkeln skiljer sig från de raka figurerna eftersom den bygger på talet π (pi), som är ungefär 3,14. Avståndet från cirkelns mitt ut till kanten kallas radie (r), och tvärs över hela cirkeln går diametern (d), som är dubbelt så lång som radien. Med dessa två formler täcker du det mesta:

Talet π är detsamma för alla cirklar: det är förhållandet mellan omkretsen och diametern, ungefär 3,14159. Eftersom π är ett oändligt decimaltal som aldrig upprepar sig avrundar man oftast till 3,14 i beräkningar, men på provet räcker det nästan alltid att låta π stå kvar i svaret.

Vill du se fler exempel och vanliga misstag har vi separata guider för cirkelns area och cirkelns omkrets.

Tredimensionella figurer (rymdgeometri)

När en figur får djup blir den en kropp, och då räknar vi ut volym i stället för area. Volym mäts i kubikenheter, till exempel kubikcentimeter (cm³). Här är de viktigaste kropparna och deras volymformler:

Lägg märke till att cylindern bygger vidare på cirkeln: du räknar ut cirkelns area (π · r²) och multiplicerar med höjden. Vill du se det steg för steg har vi en separat guide för volymen av en cylinder.

Förutom volym kan du också räkna ut en kropps begränsningsarea, alltså den sammanlagda arean av alla ytor. För en kub blir det 6 · s², eftersom kuben har sex lika stora kvadratiska sidor. På högskoleprovet är dock volym betydligt vanligare än begränsningsarea, så lägg krutet där.

Pythagoras sats

Pythagoras sats är ett av geometrins mest använda samband. Den gäller i alla rätvinkliga trianglar och kopplar ihop de tre sidorna: de två kortare sidorna (kateterna a och b) och den längsta sidan (hypotenusan c).

Med satsen kan du räkna ut en sida så fort du känner de andra två, vilket är otroligt användbart i geometriska problem. Läs hela genomgången med bevis och exempel i vår guide om Pythagoras sats.

Trigonometri

Trigonometri är en fördjupning av geometrin som handlar om sambandet mellan vinklar och sidor i trianglar. Med de tre trigonometriska funktionerna sinus (sin), cosinus (cos) och tangens (tan) kan du räkna ut sidor och vinklar som annars vore svåra att komma åt, även i icke-rätvinkliga trianglar.

Trigonometrin bygger ofta på enhetscirkeln, en cirkel med radien 1 som binder ihop vinklar och koordinater. Vill du komma igång, börja med vår genomgång av trigonometri och hur du använder sin, cos och tan.

Formelsamling: de viktigaste geometriformlerna

Här är de formler du behöver oftast, samlade på ett ställe. Lär dig dem utantill, så löser du de flesta geometriuppgifter snabbt.

Behöver du hela provets formelblad samlat hittar du det i vår formelsamling för högskoleprovet och i guiden till högskoleprovets formelblad.

Geometri på högskoleprovet

Geometri är ett tacksamt område att plugga inför högskoleprovet, eftersom uppgifterna nästan alltid bygger på samma handfull formler. Du möter geometri framför allt på två delprov: XYZ, som testar matematisk problemlösning, och KVA, där du jämför två kvantiteter, till exempel areorna av två olika figurer.

De vanligaste uppgiftstyperna handlar om att räkna ut area, omkrets eller volym, kombinera flera figurer, eller använda Pythagoras sats för att hitta en saknad sida. Eftersom formlerna är få men återkommande lönar det sig att träna tills de sitter. Du kan repetera areaberäkning och sedan träna på riktiga provfrågor med direkt feedback.

Ett enkelt knep som höjer träffsäkerheten: rita alltid upp figuren och skriv in de mått du känner till innan du börjar räkna. Då ser du direkt vilken formel som passar och vilka mått som saknas. Håll också koll på enheterna, area anges i kvadratenheter (cm²) och volym i kubikenheter (cm³), och uppgiften vill ofta ha svaret i en bestämd enhet.

Vanliga frågor om geometri

Vad är geometri?

Geometri är den gren av matematiken som handlar om figurer, deras form, storlek och läge samt hur de förhåller sig till varandra. Den delas in i plangeometri (tvådimensionella figurer som trianglar och cirklar) och rymdgeometri (tredimensionella kroppar som kuber och cylindrar).

Vad är skillnaden mellan geometri och trigonometri?

Geometri är det breda ämnet om figurer och deras egenskaper. Trigonometri är en fördjupning inom geometrin som specifikt handlar om sambandet mellan vinklar och sidor i trianglar, med hjälp av funktionerna sinus, cosinus och tangens. All trigonometri är alltså geometri, men långt ifrån all geometri är trigonometri.

Vilka geometriformler ska man kunna på högskoleprovet?

De viktigaste är areaformlerna för triangel ((1/2) · bas · höjd), rektangel (bas · höjd) och cirkel (π · r²), omkretsen för en cirkel (2 · π · r), volymen för rätblock, cylinder och klot, samt Pythagoras sats (a² + b² = c²). Se den samlade formelsamlingen ovan.

Hur räknar man volym?

Volym beror på kroppens form. För raka kroppar som rätblock och cylinder multiplicerar du basytan med höjden, till exempel π · r² · h för en cylinder. Spetsiga kroppar som kon tar en tredjedel av motsvarande, och för ett klot använder du (4/3) · π · r³.

Hur räknar man area?

Area beror på figuren. För en rektangel är arean bas · höjd, för en triangel (1/2) · bas · höjd och för en cirkel π · r². I vår guide om att räkna area går vi igenom de vanligaste figurerna steg för steg.

Vill du läsa mer om ämnets bakgrund finns en översikt om geometri hos Wikipedia.