Vad är enhetscirkeln?
Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 och medelpunkt i origo, alltså i punkten (0, 0) i ett vanligt koordinatsystem. Namnet kommer av att radien är exakt en enhet lång. Det låter enkelt, och det är det, men den här lilla cirkeln är ett av de mest kraftfulla verktygen i hela trigonometrin.
Anledningen är att enhetscirkeln låter oss definiera sinus och cosinus för alla vinklar, inte bara de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel. Med en triangel kan du bara prata om vinklar mellan 0° och 90°, men på enhetscirkeln kan en vinkel vara 150°, 270° eller till och med negativ. Det är grunden för trigonometriska funktioner, trigonometriska ekvationer och allt arbete med periodiska förlopp som vågor och svängningar.
Den här artikeln bygger vidare på vår genomgång av trigonometri och visar hur sin och cos definieras med enhetscirkeln, hur du växlar mellan grader och radianer, exakta värden för de viktigaste vinklarna, hur de fyra kvadranterna fungerar och vad som händer med negativa vinklar och vinklar större än ett helt varv. Enhetscirkeln tas upp i kursen Matematik 3c och framåt.
Sinus och cosinus i enhetscirkeln
Tänk dig en punkt som startar längst till höger på cirkeln, i (1, 0), och rör sig moturs längs cirkelbågen. Vinkeln v mäts från den positiva x-axeln. För varje vinkel hamnar punkten på ett bestämt ställe på cirkeln, och då gäller den centrala definitionen:
cos v = punktens x-koordinat
sin v = punktens y-koordinat
Med andra ord: en punkt på enhetscirkeln har alltid koordinaterna (cos v, sin v). Det här hänger ihop med den vanliga definitionen i en rätvinklig triangel. Om du drar en lodrät linje från punkten ner till x-axeln bildas en liten rätvinklig triangel där hypotenusan är radien (längd 1), den vågräta kateten är cos v och den lodräta kateten är sin v. Eftersom hypotenusan är 1 blir sin v = motstående / 1 = motstående, precis som koordinaten.
En direkt följd är att både sin v och cos v alltid ligger mellan −1 och 1, eftersom punkten aldrig kan komma längre från origo än radien 1. Längst till höger (0°) är cos lika med 1 och sin lika med 0, och längst upp (90°) är cos lika med 0 och sin lika med 1. På så vis kan du läsa av cosinus på den vågräta axeln och sinus på den lodräta, direkt ur figuren.
Tangens definieras som tidigare, tan v = sin v / cos v, vilket på enhetscirkeln blir y-koordinaten delat med x-koordinaten. För en fördjupning i de tre funktionerna var för sig kommer vår artikel sin, cos och tan.
Grader och radianer
Det finns två sätt att mäta vinklar. Grader känner du redan till: ett helt varv är 360°. Radianer är ett alternativt mått som bygger på cirkelbågens längd. Ett helt varv runt enhetscirkeln motsvarar omkretsen 2π, så ett varv är 2π radianer. Därmed gäller den grundläggande omräkningen:
360° = 2π rad, alltså 180° = π rad
För att gå från grader till radianer multiplicerar du med π/180. För att gå från radianer till grader multiplicerar du i stället med 180/π. Till exempel blir 90° lika med 90 · π/180 = π/2 radianer. De vanligaste vinklarna är värda att kunna i båda formerna: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π och 270° = 3π/2. En radian är den vinkel där cirkelbågens längd är lika med radien, vilket är just därför ett helt varv blir 2π, samma som omkretsen. Radianer kan kännas ovant i början, men de är standard i all högre matematik eftersom de gör många formler enklare.
Speciella vinklar och exakta värden
Vissa vinklar dyker upp om och om igen, och deras exakta värden är värda att kunna utantill. Tabellen nedan visar sin, cos och tan för de åtta viktigaste vinklarna, både i grader och radianer.
| Grader | Radianer | sin | cos | tan |
|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | ej def. |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | ej def. |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Lägg märke till att 360° hamnar på exakt samma plats som 0°, eftersom du har gått ett helt varv tillbaka till start. Tangens är odefinierad för 90° och 270° eftersom cos är 0 där, och man kan inte dela med noll.
De fyra kvadranterna: tecken på sin, cos och tan
Enhetscirkeln delas in i fyra kvadranter, ett kvarts varv var, numrerade moturs från övre högra hörnet. Eftersom cos är x-koordinaten och sin är y-koordinaten avgör kvadranten vilka tecken funktionerna får:
- Första kvadranten (0° till 90°): både x och y är positiva, så sin, cos och tan är alla positiva.
- Andra kvadranten (90° till 180°): x är negativ, y positiv. Alltså är sin positiv, men cos och tan negativa.
- Tredje kvadranten (180° till 270°): både x och y är negativa. Sin och cos är negativa, men tan blir positiv (negativ delat med negativ).
- Fjärde kvadranten (270° till 360°): x positiv, y negativ. Cos är positiv, men sin och tan negativa.
En vanlig minnesregel är att gå moturs och komma ihåg vilken funktion som är positiv i varje kvadrant: alla i första, sinus i andra, tangens i tredje och cosinus i fjärde.
Periodicitet, negativa vinklar och vinklar över 360°
Eftersom punkten rör sig runt i cirkeln upprepar sig värdena varje varv. Det kallas att funktionerna är periodiska med perioden 360° (eller 2π). Lägger du till ett helt varv hamnar du på exakt samma punkt: sin(v + 360°) = sin v och cos(v + 360°) = cos v.
Det betyder att en vinkel större än 360° kan förenklas genom att dra bort hela varv. Vinkeln 405° pekar åt samma håll som 405° − 360° = 45°, så sin 405° = sin 45° och cos 405° = cos 45°. På samma sätt kan du alltid lägga till eller dra bort hela varv tills du landar i intervallet 0° till 360°, utan att värdena ändras.
En negativ vinkel mäts i stället medurs från positiva x-axeln. Vinkeln −30° hamnar precis under start, på samma ställe som 330°. Här syns ett vackert mönster i symmetrin: cos(−v) = cos v, medan sin(−v) = −sin v. Cosinus är alltså spegelsymmetrisk kring x-axeln, medan sinus byter tecken.
Räkneexempel med enhetscirkeln
Exempel 1: Omvandla 135° till radianer
Multiplicera med π/180: 135 · π/180 = 135π/180 = 3π/4. Svar: 135° = 3π/4 radianer.
Exempel 2: Bestäm sin och cos för 150°
150° ligger i andra kvadranten och har referensvinkeln 180° − 150° = 30°. I andra kvadranten är sin positiv och cos negativ, så sin 150° = sin 30° = 1/2 och cos 150° = −cos 30° = −√3/2. Svar: sin 150° = 1/2 och cos 150° = −√3/2.
Exempel 3: Förenkla en vinkel över ett varv
Vad är cos 420°? Dra bort ett helt varv: 420° − 360° = 60°. Alltså cos 420° = cos 60° = 1/2. Svar: 1/2.
Exempel 4: En negativ vinkel
Beräkna sin(−60°) och cos(−60°). Använd symmetrin: sin(−60°) = −sin 60° = −√3/2 och cos(−60°) = cos 60° = 1/2. Svar: sin(−60°) = −√3/2 och cos(−60°) = 1/2.
Så memorerar du enhetscirkeln
Du behöver inte plugga in alla värden var för sig. Ett knep är sinusmönstret för 0°, 30°, 45°, 60° och 90°: skriv √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Det blir 0, 1/2, √2/2, √3/2 och 1. Cosinus är exakt samma värden fast i omvänd ordning, eftersom cos v = sin(90° − v). Lär dig det mönstret så har du hela första kvadranten gratis.
Resten av cirkeln får du genom symmetri. Kan du första kvadranten kan du spegla värdena till de andra tre och bara hålla reda på tecknen med kvadrantregeln ovan. Att rita cirkeln för hand några gånger, markera vinklarna och fylla i koordinaterna är det snabbaste sättet att få det att fastna. Repetera formlerna på vårt formelblad för Matematik 3 när du behöver en snabb påminnelse.
Vill du bli vassare på matematik? Träna med blandade uppgifter på hpspelet.se ur vår frågebank med över 25 000 frågor. För fler genomgångar, se Matteboken från Mattecentrum och Skolverkets kursplan i matematik, där enhetscirkeln ingår i Matematik 3c. En grundlig genomgång finns även i KTH:s förberedande matematikmaterial.
Vanliga frågor om enhetscirkeln
Vad är enhetscirkeln?
Enhetscirkeln är en cirkel med radien 1 och medelpunkt i origo (0, 0). Den används för att definiera sinus och cosinus för alla vinklar: en punkt på cirkeln vid vinkeln v har koordinaterna (cos v, sin v). Tack vare det kan trigonometriska funktioner hanteras även för vinklar utanför intervallet 0° till 90°.
Hur används enhetscirkeln?
Enhetscirkeln används för att läsa av exakta värden för sin, cos och tan, för att förstå tecknen i de fyra kvadranterna, för att lösa trigonometriska ekvationer och för att arbeta med periodiska funktioner. Eftersom punktens koordinater är (cos v, sin v) kan du läsa av cosinus på x-axeln och sinus på y-axeln direkt.
Vad är skillnaden mellan grader och radianer?
Grader och radianer är två olika sätt att mäta vinklar. Ett helt varv är 360° eller 2π radianer, vilket ger att 180° = π radianer. För att omvandla grader till radianer multiplicerar du med π/180, och för att gå åt andra hållet multiplicerar du med 180/π. Radianer används främst i högre matematik eftersom de förenklar många formler.
Hur memorerar man enhetscirkeln?
Det enklaste är att lära sig sinusmönstret för första kvadranten: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, alltså 0, 1/2, √2/2, √3/2 och 1. Cosinus är samma värden baklänges. Resten av cirkeln får du genom att spegla värdena till övriga kvadranter och hålla reda på tecknen med kvadrantregeln (alla, sinus, tangens, cosinus moturs). Att rita cirkeln för hand några gånger befäster minnet snabbast.
