En likbent triangel är en triangel där två av sidorna är exakt lika långa. De två lika långa sidorna kallas ben och den tredje sidan kallas bas. En direkt följd av detta är att triangelns två basvinklar, vinklarna vid basen, alltid är lika stora. Likbenta trianglar är en av de vanligaste figurerna i geometrin och dyker ofta upp på högskoleprovets matematikdel.
Likbent triangel i korthet
- Två lika långa sidor (benen) och en bas
- Två lika stora basvinklar vid basen
- Vinkelsumma 180°, precis som i alla trianglar
- Area = (1/2) · bas · höjd
- Höjden mot basen delar triangeln i två lika stora rätvinkliga trianglar
Vad är en likbent triangel?
Ordet likbent betyder ungefär "lika ben". I en likbent triangel är två av de tre sidorna lika långa. De två lika långa sidorna kallas ben, och den sida som skiljer sig från de andra kallas bas.
Vinkeln mellan de två benen, högst upp vid triangelns spets, kallas toppvinkel. De två vinklarna som ligger vid basen kallas basvinklar. Det avgörande kännetecknet för en likbent triangel är att de två basvinklarna alltid är exakt lika stora. Sambandet gäller åt båda hållen: om två vinklar i en triangel är lika stora, så är triangeln likbent.
| Begrepp |
Betydelse |
| Ben |
De två lika långa sidorna |
| Bas |
Den tredje sidan, mellan de två basvinklarna |
| Basvinklar |
De två lika stora vinklarna vid basen |
| Toppvinkel |
Vinkeln mellan benen, mittemot basen |
| Höjd |
Det vinkelräta avståndet från toppvinkeln ner till basen |
Likbent eller liksidig triangel, vad är skillnaden?
Det är lätt att blanda ihop likbent och liksidig. Skillnaden handlar bara om hur många sidor som är lika långa.
| Typ av triangel |
Lika långa sidor |
Lika stora vinklar |
Exempel på vinklar |
| Liksidig |
3 (alla) |
3 (alla 60°) |
60°, 60°, 60° |
| Likbent |
Minst 2 |
Minst 2 (basvinklarna) |
50°, 65°, 65° |
| Oliksidig |
0 |
0 |
40°, 60°, 80° |
En viktig poäng som ofta testas: en liksidig triangel är ett specialfall av en likbent triangel. Eftersom alla tre sidor är lika långa är ju även två av dem lika långa. Däremot är inte alla likbenta trianglar liksidiga, en likbent triangel med basvinklar på 65° är inte liksidig.
Egenskaper hos en likbent triangel
De viktigaste egenskaperna följer alla av att de två benen är lika långa:
- Symmetri. En likbent triangel är symmetrisk kring en linje som går från toppvinkeln rakt ner till basens mittpunkt. Viker du triangeln längs den linjen landar de två halvorna exakt på varandra.
- Lika basvinklar. De två vinklarna vid basen är alltid lika stora. Detta är själva kännetecknet och används i nästan alla uppgifter.
- Höjden mot basen är speciell. Höjden från toppvinkeln ner till basen är samtidigt median (delar basen i två lika delar), bisektris (delar toppvinkeln i två lika delar) och symmetrilinje, allt på samma gång.
- Två rätvinkliga trianglar. Just därför delar höjden upp den likbenta triangeln i två kongruenta (exakt lika stora) rätvinkliga trianglar. Det är nyckeln till att räkna ut höjden, vilket vi gör längre ner.
Vinklar i en likbent triangel
Precis som i alla trianglar är summan av de tre vinklarna 180°. Kombinerar du det med att de två basvinklarna är lika stora kan du alltid räkna ut de vinklar du saknar.
Basvinkel = (180° - toppvinkel) / 2
Toppvinkel = 180° - 2 · basvinkel
Känner du toppvinkeln drar du bort den från 180° och delar resten på två, eftersom de återstående graderna fördelas lika mellan de två basvinklarna. Är toppvinkeln till exempel 40° blir varje basvinkel (180° - 40°) / 2 = 70°. Känner du i stället en basvinkel vet du genast den andra (de är lika), och toppvinkeln blir det som återstår upp till 180°.
Så räknar du ut arean på en likbent triangel
Arean på en likbent triangel räknas ut med exakt samma formel som för vilken triangel som helst. Det enda du behöver är basen och höjden mot basen.
Area = (1/2) · bas · höjd
Höjden är det vinkelräta avståndet från toppvinkeln ner till basen, inte längden på ett ben. Den skillnaden är viktig: benet lutar, medan höjden står rakt upp mot basen. Vet du basen och höjden är arean enkel. Ofta får du i stället benens längd och basen, och då måste du först räkna ut höjden med Pythagoras sats.
Hitta höjden med Pythagoras sats
Här kommer den vackra delen. När du drar höjden från toppvinkeln ner till basen delas den likbenta triangeln i två lika stora rätvinkliga trianglar. Höjden delar samtidigt basen mitt itu, så varje halva av basen blir bas/2.
I var och en av de rätvinkliga trianglarna är benet hypotenusan, höjden är den ena kateten och halva basen den andra. Då kan du använda Pythagoras sats för att lösa ut höjden:
höjd = √(ben² - (bas/2)²)
Ett snabbt exempel: en likbent triangel har benen 10 cm och basen 12 cm. Halva basen är 6 cm, så höjden blir √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm. Nu när du har höjden kan du räkna ut arean. Vill du repetera själva satsen steg för steg har vi en separat guide med enkla exempel på Pythagoras sats.
Räkneexempel på likbent triangel
Här är fem typiska uppgifter, från den enklaste till en HP-liknande kombination. Försök gärna lösa varje exempel själv innan du läser svaret.
Exempel 1: area när du vet bas och höjd
En likbent triangel har basen 8 cm och höjden 5 cm. Hur stor är arean?
Svar: Area = (1/2) · 8 · 5 = 20 cm².
Exempel 2: räkna ut höjden först, sedan arean
En likbent triangel har benen 13 cm och basen 10 cm. Hur stor är arean?
Halva basen är 5 cm. Höjden blir √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm.
Svar: Area = (1/2) · 10 · 12 = 60 cm².
Exempel 3: basvinklar när du vet toppvinkeln
Toppvinkeln i en likbent triangel är 40°. Hur stora är basvinklarna?
Svar: Basvinkel = (180° - 40°) / 2 = 70°. Båda basvinklarna är alltså 70°.
Exempel 4: toppvinkel när du vet en basvinkel
En basvinkel i en likbent triangel är 75°. Hur stor är toppvinkeln?
Svar: Toppvinkel = 180° - 2 · 75° = 30°.
Exempel 5: HP-liknande kombination
En likbent triangel har omkretsen 32 cm och basen 12 cm. Hur stor är arean?
De två benen delar på resten av omkretsen: 32 - 12 = 20 cm, alltså 10 cm per ben. Halva basen är 6 cm, så höjden blir √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm.
Svar: Area = (1/2) · 12 · 8 = 48 cm².
Likbent triangel på högskoleprovet
Trianglar är ett återkommande tema på XYZ-delen, som testar matematiska problem på högskoleprovet. Likbenta trianglar är populära just för att en enda ledtråd, två lika sidor eller två lika vinklar, låser upp hela figuren. Uppgifterna kombinerar ofta flera steg, precis som exempel 5 ovan: först omkrets eller vinklar, sedan Pythagoras för höjden, och till sist arean.
De vanligaste fällorna att se upp med:
- Förväxla ben och höjd. Benet lutar, höjden står vinkelrätt mot basen. Sätt aldrig in benets längd där höjden ska vara i areaformeln.
- Glömma att basvinklarna är lika. Det är ofta den ledtråd som gör uppgiften lösbar.
- Missa att höjden halverar basen. Det är därför du får använda bas/2 i Pythagoras.
Vill du träna på den här typen av uppgifter under tidspress kan du träna på riktiga XYZ-frågor gratis, med direkt feedback. Du kan också repetera alla samband i vår formelsamling för högskoleprovet eller läsa mer om högskoleprovets matematikdel i stort.
Formler för likbent triangel i korthet
| Vad du vill räkna ut |
Formel |
| Area |
(1/2) · bas · höjd |
| Höjd (mot basen) |
√(ben² - (bas/2)²) |
| Basvinkel |
(180° - toppvinkel) / 2 |
| Toppvinkel |
180° - 2 · basvinkel |
| Omkrets |
2 · ben + bas |
Vanliga frågor om likbent triangel
Vad är en likbent triangel?
En likbent triangel är en triangel där två av sidorna är lika långa. De lika långa sidorna kallas ben och den tredje sidan bas. Eftersom benen är lika långa blir också de två basvinklarna lika stora.
Vad är skillnaden mellan likbent och liksidig triangel?
I en likbent triangel är minst två sidor lika långa, medan alla tre sidorna är lika långa i en liksidig triangel. En liksidig triangel är därför ett specialfall av en likbent triangel, men en likbent triangel är inte nödvändigtvis liksidig.
Hur räknar man ut arean på en likbent triangel?
Arean räknas ut med formeln (1/2) · bas · höjd, precis som för alla trianglar. Om du bara känner benen och basen räknar du först ut höjden med Pythagoras sats, höjd = √(ben² - (bas/2)²), och sätter sedan in den i areaformeln.
Hur stora är vinklarna i en likbent triangel?
De tre vinklarna summerar alltid till 180°, och de två basvinklarna är lika stora. Känner du toppvinkeln är varje basvinkel (180° - toppvinkel) / 2. Känner du en basvinkel är toppvinkeln 180° - 2 · basvinkel.
Hur hittar man höjden i en likbent triangel?
Höjden mot basen delar triangeln i två lika stora rätvinkliga trianglar och halverar basen. Då ger Pythagoras sats höjd = √(ben² - (bas/2)²). Med benet 10 och basen 12 blir höjden √(100 - 36) = √64 = 8.
Träna på trianglar och resten av XYZ
Geometri är ett av de områden där lite riktad träning ger snabbast poäng på högskoleprovet. Quiza på riktiga provfrågor, se direkt vad du gjorde rätt och få förklaringar som fastnar.
Skapa konto gratis
Vill du fördjupa dig i den formella definitionen kan du läsa mer om likbent triangel hos Wikipedia, eller läsa mer om provets upplägg på studera.nu.
