Vad är trigonometri?
Trigonometri är läran om sambanden mellan vinklar och sidor i en triangel. Ordet kommer från grekiskans trigonon (triangel) och metron (mått), alltså helt enkelt "triangelmätning". Med trigonometri kan du räkna ut en okänd sida när du känner en vinkel och en sida, eller bestämma en vinkel när du känner två sidor. Det är ett av de mest användbara verktygen i hela matematiken.
Trigonometrin bygger på tre grundfunktioner: sinus (sin), cosinus (cos) och tangens (tan). De låter dig översätta mellan vinklar och längder, vilket är precis det som behövs i allt från navigation och byggnadsteknik till fysik, spelutveckling och astronomi. Trigonometri är ett centralt område i gymnasiematematiken och bygger helt på den rätvinkliga triangeln, som även är ett vanligt inslag i geometriuppgifter på högskoleprovet.
Den här guiden tar dig från grunden: vad sin, cos och tan betyder, minnesregeln SOHCAHTOA, en kort introduktion till enhetscirkeln, de viktigaste trigonometriska sambanden, sinussatsen och cosinussatsen för trianglar utan rät vinkel, samt fem räkneexempel och tips för högskoleprovet. Allt bygger vidare på den rätvinkliga triangeln, så det är en bra idé att ha den färsk i minnet.
Sinus, cosinus och tangens i en rätvinklig triangel
Allt börjar i en rätvinklig triangel. Välj en av de två spetsiga vinklarna och kalla den v. Sett från den vinkeln får triangelns tre sidor varsitt namn:
- Hypotenusan är den längsta sidan, mittemot den räta vinkeln (90°).
- Motstående katet är sidan rakt mittemot vinkeln v.
- Närliggande katet är sidan intill vinkeln v (den som inte är hypotenusan).
De tre trigonometriska funktionerna definieras som förhållanden mellan dessa sidor:
sin v = motstående / hypotenusa
cos v = närliggande / hypotenusa
tan v = motstående / närliggande
Det viktiga att förstå är att dessa förhållanden bara beror på vinkeln, inte på hur stor triangeln är. En triangel med vinkeln 30° har exakt samma sin-, cos- och tan-värden oavsett om sidorna mäts i centimeter eller kilometer, eftersom alla trianglar med samma vinklar är likformiga. Därför kan en miniräknare (eller en tabell) ge dig sin 30°, cos 30° och tan 30° en gång för alla. En fördjupning av just de tre funktionerna kommer i vår kommande artikel sin, cos och tan.
SOH CAH TOA: minnesregeln för sin, cos och tan
Den klassiska minnesregeln för de tre definitionerna är SOHCAHTOA. Den delas upp i tre stavelser, en för varje funktion:
- SOH: Sin = Opposite / Hypotenuse (motstående genom hypotenusa)
- CAH: Cos = Adjacent / Hypotenuse (närliggande genom hypotenusa)
- TOA: Tan = Opposite / Adjacent (motstående genom närliggande)
Ett enkelt sätt att hålla isär dem: både sin och cos delar med hypotenusan, medan tan är den enda som delar de två kateterna med varandra. Lägg också märke till att tan v = sin v / cos v, eftersom (motstående / hypotenusa) delat med (närliggande / hypotenusa) blir motstående / närliggande. Den lilla observationen är ett av de allra mest använda trigonometriska sambanden.
Enhetscirkeln: trigonometri för alla vinklar
Definitionerna ovan fungerar bara för spetsiga vinklar (mellan 0° och 90°), eftersom en triangel inte kan ha en vinkel på 120°. För att kunna prata om sin och cos för vilken vinkel som helst använder vi enhetscirkeln: en cirkel med radien 1 och medelpunkt i origo i ett koordinatsystem.
Tänk dig en punkt som rör sig längs cirkeln. Vinkeln v mäts från den positiva x-axeln, moturs. Då gäller en elegant definition: cos v är punktens x-koordinat och sin v är punktens y-koordinat. Tangens blir då y delat med x. Den här bilden förklarar varför sin och cos alltid ligger mellan -1 och 1, varför sin 90° = 1 och cos 90° = 0, och hur värdena upprepar sig varje varv (perioden 360°). Den förklarar också radianer, ett alternativt sätt att mäta vinklar där ett helt varv är 2π.
Enhetscirkeln är ett så centralt verktyg att den förtjänar en egen genomgång. En fördjupande artikel om enhetscirkeln är på väg, där vi går igenom radianer, alla fyra kvadranter och hur du läser av exakta värden direkt ur cirkeln.
Exakta värden för vanliga vinklar
Tre vinklar dyker upp så ofta att deras exakta sin-, cos- och tan-värden är värda att kunna utantill: 30°, 45° och 60°. Tillsammans med 0° och 90° täcker de in nästan alla skolboks- och provuppgifter på gymnasiet där en miniräknare inte behövs.
| Vinkel v | sin v | cos v | tan v |
|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | ej def. |
Lägg märke till mönstret: sin-värdena går 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 medan cos-värdena är desamma fast baklänges. Det är ingen slump, det följer direkt av att sin v = cos (90° − v). Tangens för 90° är odefinierad eftersom cos 90° = 0, och man kan inte dela med noll.
Trigonometriska samband och identiteter
Ett trigonometriskt samband (eller en trigonometrisk identitet) är en likhet mellan trigonometriska uttryck som gäller för alla vinklar. De låter dig skriva om och förenkla uttryck, och de är grunden för att lösa trigonometriska ekvationer. De två viktigaste är:
sin²v + cos²v = 1
tan v = sin v / cos v
Den första kallas ofta för trigonometriska ettan och är den mest använda identiteten av alla. Den följer direkt av Pythagoras sats tillämpad på enhetscirkeln: eftersom punkten (cos v, sin v) ligger på en cirkel med radien 1 gäller att x² + y² = 1, alltså cos²v + sin²v = 1. (Skrivsättet sin²v betyder (sin v)², alltså sinusvärdet upphöjt till två.)
Trigonometriska ettan är praktisk eftersom den låter dig räkna ut cos när du känner sin, eller tvärtom. Känner du till exempel sin v = 0,6 så är cos²v = 1 − 0,36 = 0,64, vilket ger cos v = 0,8 (för en spetsig vinkel). Andra vanliga samband som du möter senare i gymnasiet är additionsformlerna och formlerna för dubbla vinkeln, men trigonometriska ettan och tan = sin/cos räcker långt.
Sinussatsen och cosinussatsen: trianglar utan rät vinkel
SOHCAHTOA fungerar bara i rätvinkliga trianglar. Men många trianglar saknar en rät vinkel, och då behövs två kraftfullare verktyg som gäller för alla trianglar. Beteckningarna nedan följer standarden att sidan a ligger mittemot vinkeln A, sidan b mittemot vinkeln B och sidan c mittemot vinkeln C.
Sinussatsen
Sinussatsen kopplar ihop varje sida med sinus för den motstående vinkeln:
a / sin A = b / sin B = c / sin C
Använd den när du känner en sida och dess motstående vinkel, plus en sida eller vinkel till. Typiskt: du vet två vinklar och en sida, och vill hitta en annan sida.
Cosinussatsen
Cosinussatsen är en generalisering av Pythagoras sats till trianglar utan rät vinkel:
c² = a² + b² − 2ab · cos C
Använd den när du känner två sidor och den mellanliggande vinkeln (och vill ha tredje sidan), eller när du känner alla tre sidorna (och vill ha en vinkel). Lägg märke till att om C = 90° blir cos C = 0 och hela termen −2ab · cos C försvinner, så att formeln blir c² = a² + b², alltså vanliga Pythagoras sats. Cosinussatsen innehåller med andra ord Pythagoras sats som ett specialfall.
Räkneexempel: trigonometri steg för steg
Exempel 1: Hitta en sida med sinus
I en rätvinklig triangel är hypotenusan 10 cm och en vinkel 30°. Hur lång är den motstående kateten?
Vi söker motstående katet och känner hypotenusan, så vi använder sinus: sin 30° = motstående / 10. Eftersom sin 30° = 1/2 blir motstående = 10 · (1/2) = 5 cm.
Svar: 5 cm.
Exempel 2: Hitta en vinkel med tangens
En ramp är 2 m hög och 5 m lång (horisontellt). Vilken lutningsvinkel har rampen?
Höjden är motstående katet och längden är närliggande katet, så vi använder tangens: tan v = 2 / 5 = 0,4. Vinkeln blir v = tan⁻¹(0,4) ≈ 21,8°.
Svar: cirka 21,8°. (tan⁻¹ är inversen till tangens, ofta märkt atan eller arctan på miniräknaren.)
Exempel 3: Använd trigonometriska ettan
En spetsig vinkel v har cos v = 0,8. Vad är sin v?
Använd sin²v + cos²v = 1: sin²v = 1 − 0,8² = 1 − 0,64 = 0,36, så sin v = √0,36 = 0,6.
Svar: sin v = 0,6. (Detta är samma sidoförhållanden som i en 3-4-5-triangel.)
Exempel 4: Cosinussatsen
En triangel har sidorna a = 7 och b = 9 med den mellanliggande vinkeln C = 60°. Hur lång är sidan c?
Cosinussatsen ger c² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos 60° = 49 + 81 − 126 · (1/2) = 130 − 63 = 67. Alltså c = √67 ≈ 8,2.
Svar: c ≈ 8,2.
Exempel 5: Sinussatsen
I en triangel är vinkeln A = 40°, vinkeln B = 75° och sidan a = 6. Hur lång är sidan b?
Sinussatsen ger a / sin A = b / sin B, alltså b = a · sin B / sin A = 6 · sin 75° / sin 40° ≈ 6 · 0,966 / 0,643 ≈ 9,0.
Svar: b ≈ 9,0.
Trigonometri och högskoleprovet
En viktig sak att känna till om du pluggar inför provet: trigonometriska beräkningar ingår inte i högskoleprovet. Den kvantitativa delen (XYZ, KVA, NOG och DTK) testar matematik upp till ungefär Matematik 1-nivå, alltså aritmetik, algebra, geometri, funktioner och statistik. Du behöver alltså inte räkna med sin, cos eller tan, och inte heller sinussatsen eller cosinussatsen, på provet.
Det som däremot är högrelevant är grunden som trigonometrin vilar på: den rätvinkliga triangeln och Pythagoras sats. De hör till de allra vanligaste geometriverktygen på XYZ-delen, ofta i uppgifter med diagonaler, avstånd i ett koordinatsystem eller en stege mot en vägg. Lär dig gärna de vanligaste pythagoreiska tripplarna (3-4-5 och 5-12-13) utantill för att spara tid.
Att förstå hur sin, cos och tan fungerar kan ändå göra dig snabbare på vissa triangeluppgifter, särskilt resonemangsuppgifter på NOG där du bara behöver avgöra om något går att räkna ut. Men det är en bonus, inte ett krav. Vill du fördjupa dig i ämnet hittar du mer på Matteboken från Mattecentrum, och gamla prov att öva på via studera.nu. Gymnasiets kursinnehåll i trigonometri styrs av Skolverket, där sin, cos och tan ingår i Matematik 1c medan enhetscirkeln och satserna kommer i Matematik 3c.
Vill du träna på matematik i HP-format? Starta ett gratis matte-quiz på hpspelet.se så får du blandade uppgifter ur vår frågebank med över 25 000 HP-frågor.
Vanliga frågor om trigonometri
Vad är trigonometri?
Trigonometri är den del av matematiken som handlar om sambanden mellan vinklar och sidor i en triangel. Med hjälp av de tre funktionerna sinus, cosinus och tangens kan du räkna ut en okänd sida när du känner en vinkel och en sida, eller bestämma en vinkel när du känner två sidor. Ordet betyder ordagrant "triangelmätning".
Vad betyder sin, cos och tan?
Sin, cos och tan är förkortningar för sinus, cosinus och tangens. I en rätvinklig triangel, sett från en spetsig vinkel v, gäller att sin v = motstående katet / hypotenusa, cos v = närliggande katet / hypotenusa och tan v = motstående katet / närliggande katet. Värdena beror bara på vinkeln, inte på triangelns storlek.
Vad är SOHCAHTOA?
SOHCAHTOA är en minnesregel för de tre trigonometriska funktionerna. SOH betyder Sin = Opposite / Hypotenuse (motstående genom hypotenusa), CAH betyder Cos = Adjacent / Hypotenuse (närliggande genom hypotenusa) och TOA betyder Tan = Opposite / Adjacent (motstående genom närliggande). Den gör det lätt att komma ihåg vilken sida som ska delas med vilken.
Vad är trigonometriska identiteter?
En trigonometrisk identitet är en likhet mellan trigonometriska uttryck som gäller för alla vinklar. De två viktigaste är trigonometriska ettan, sin²v + cos²v = 1, och sambandet tan v = sin v / cos v. De används för att skriva om och förenkla uttryck och för att lösa trigonometriska ekvationer. Trigonometriska ettan följer direkt av Pythagoras sats tillämpad på enhetscirkeln.
Behöver man trigonometri på högskoleprovet?
Nej, trigonometriska beräkningar ingår inte i högskoleprovet. Den kvantitativa delen testar matematik upp till ungefär Matematik 1-nivå (aritmetik, algebra, geometri, funktioner och statistik), så du behöver inte räkna med sin, cos eller tan. Däremot är den rätvinkliga triangeln och Pythagoras sats, som trigonometrin bygger på, mycket vanliga i geometriuppgifter på XYZ-delen. Att förstå grunderna i trigonometri kan göra dig snabbare på vissa triangeluppgifter, men det är inte ett krav.
