Vad betyder sin, cos och tan?
Sin, cos och tan är förkortningar för sinus, cosinus och tangens, de tre trigonometriska funktionerna. De kopplar ihop en vinkel i en rätvinklig triangel med förhållandet mellan triangelns sidor. Med dem kan du räkna ut en okänd sida när du känner en vinkel och en sida, eller bestämma en vinkel när du känner två sidor.
Funktionerna är grunden i all trigonometri. Den här artikeln går igenom vad sin, cos och tan betyder, minnesregeln SOHCAHTOA, en tabell med exakta värden, hur du använder miniräknaren för andra vinklar, de inversa funktionerna arcsin, arccos och arctan, samt flera räkneexempel. Tonen är pedagogisk och tänkt för dig som vill ha en tydlig genomgång.
Sin, cos och tan i en rätvinklig triangel
Utgå från en rätvinklig triangel och välj en av de två spetsiga vinklarna. Kalla den v. Sett från den vinkeln får sidorna tre namn:
- Hypotenusan är den längsta sidan, mittemot den räta vinkeln (90°).
- Motstående katet är sidan rakt mittemot vinkeln v.
- Närliggande katet är sidan intill vinkeln v som inte är hypotenusan.
De tre funktionerna definieras som förhållanden mellan dessa sidor:
sin v = motstående / hypotenusa
cos v = närliggande / hypotenusa
tan v = motstående / närliggande
Det fina är att förhållandena bara beror på vinkeln, inte på hur stor triangeln är. Alla trianglar med samma vinklar är likformiga, så sin 30° är samma sak oavsett om triangeln är liten eller stor. Eftersom hypotenusan alltid är den längsta sidan ligger sin v och cos v mellan 0 och 1 för en spetsig vinkel, medan tan v kan bli hur stort som helst när vinkeln närmar sig 90°. Vill du repetera grunderna kan du läsa om den rätvinkliga triangeln först.
SOHCAHTOA: minnesregeln
Den klassiska minnesregeln för definitionerna är SOHCAHTOA, uppdelad i tre stavelser:
- SOH: Sin = Opposite / Hypotenuse (motstående genom hypotenusa)
- CAH: Cos = Adjacent / Hypotenuse (närliggande genom hypotenusa)
- TOA: Tan = Opposite / Adjacent (motstående genom närliggande)
Lägg märke till att både sin och cos delar med hypotenusan, medan tan delar de två kateterna med varandra. Det följer också att tan v = sin v / cos v, eftersom (motstående / hypotenusa) delat med (närliggande / hypotenusa) blir motstående / närliggande.
Sin, cos och tan-tabell för speciella vinklar
Vissa vinklar dyker upp så ofta att deras exakta värden är värda att kunna utantill. Tabellen nedan visar sin, cos och tan för de fem viktigaste vinklarna.
| Vinkel | sin | cos | tan |
|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | ej def. |
Ett knep för att minnas sinusraden är mönstret √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, vilket blir 0, 1/2, √2/2, √3/2 och 1. Cosinus är samma värden baklänges. För vinklar utanför 0° till 90° används enhetscirkeln, som låter dig definiera sin och cos för alla vinklar.
Räkna med miniräknaren för andra vinklar
De flesta vinklar har inga "snygga" exakta värden, och då använder du miniräknaren. Skriv helt enkelt sin, cos eller tan följt av vinkeln, till exempel sin 37° ≈ 0,60. Det enda du måste kontrollera först är att räknaren står i rätt vinkelläge: DEG (grader) om vinkeln är i grader, eller RAD (radianer) om den är i radianer. En räknare i fel läge är det vanligaste felet i trigonometri, och ger helt fel svar utan att du märker det.
Ett exempel: vill du veta höjden h i en triangel där hypotenusan är 9 och vinkeln 25°, så är h = 9 · sin 25° ≈ 9 · 0,423 ≈ 3,8. Hade räknaren stått i radianläge hade sin 25 i stället tolkats som 25 radianer och gett ett helt annat, felaktigt värde. Kontrollera alltid läget innan du börjar.
Inversa funktioner: arcsin, arccos och arctan
Ibland känner du till sidförhållandet och vill hitta vinkeln i stället. Då använder du de inversa funktionerna: arcsin (även skrivet sin⁻¹), arccos (cos⁻¹) och arctan (tan⁻¹). De gör tvärtom mot de vanliga funktionerna.
Om sin v = 0,5, så är v = arcsin(0,5) = 30°. På de flesta miniräknare når du dem med knappen 2nd eller shift följt av sin, cos eller tan. Tänk på att miniräknaren alltid ger en vinkel i ett bestämt intervall: arcsin mellan −90° och 90°, arccos mellan 0° och 180° och arctan mellan −90° och 90°. I en rätvinklig triangel, där den sökta vinkeln alltid är spetsig (mellan 0° och 90°), får du alltid rätt svar direkt.
Räkneexempel: hitta sida och vinkel
Exempel 1: Hitta motstående sida med sinus
Hypotenusan är 12 cm och vinkeln är 30°. Hur lång är motstående katet?
sin 30° = motstående / 12, alltså motstående = 12 · sin 30° = 12 · 0,5 = 6 cm. Svar: 6 cm.
Exempel 2: Hitta närliggande sida med cosinus
Hypotenusan är 10 cm och vinkeln är 40°. Hur lång är närliggande katet?
cos 40° = närliggande / 10, alltså närliggande = 10 · cos 40° ≈ 10 · 0,766 = 7,66 cm. Svar: cirka 7,7 cm.
Exempel 3: Hitta motstående sida med tangens
Närliggande katet är 5 m och vinkeln är 50°. Hur lång är motstående katet?
tan 50° = motstående / 5, alltså motstående = 5 · tan 50° ≈ 5 · 1,19 = 5,96 m. Svar: cirka 6,0 m.
Exempel 4: Hitta en vinkel med arctan
Motstående katet är 3 och närliggande katet är 4. Hur stor är vinkeln v?
tan v = 3 / 4 = 0,75, alltså v = arctan(0,75) ≈ 36,9°. Svar: cirka 36,9°. (Detta är vinkeln i en 3-4-5-triangel.)
Exempel 5: Hitta en vinkel med arcsin
Motstående katet är 5 och hypotenusan är 13. Hur stor är vinkeln v?
sin v = 5 / 13 ≈ 0,385, alltså v = arcsin(0,385) ≈ 22,6°. Svar: cirka 22,6°. (En 5-12-13-triangel.)
Så väljer du rätt funktion
Nyckeln är att titta på vilka två sidor som är inblandade, sett från vinkeln. Identifiera den sida du känner och den du söker, och välj funktionen som kopplar ihop just dem:
- Motstående och hypotenusa, använd sinus.
- Närliggande och hypotenusa, använd cosinus.
- Motstående och närliggande, använd tangens.
Söker du i stället en vinkel använder du samma regel men med den inversa funktionen (arcsin, arccos eller arctan).
Ett tillämpat problem i HP-stil
Geometriproblem med rätvinkliga trianglar är vanliga på högskoleprovets XYZ-del. Tänk dig: en stege på 4 m lutar mot en vägg och når 3,2 m upp på väggen. Hur långt från väggen står stegens fot, och vilken vinkel bildar stegen med marken?
Avståndet löser du snabbast med Pythagoras sats, helt utan trigonometri: foten står √(4² − 3,2²) = √(16 − 10,24) = √5,76 = 2,4 m från väggen. Det är precis den sortens steg som faktiskt testas på provet.
Vinkeln är ett bonussteg som visar trigonometrin i praktiken: sin v = 3,2 / 4 = 0,8, så v = arcsin(0,8) ≈ 53,1°. Värt att veta: själva högskoleprovet kräver inte att du räknar med sin, cos eller tan. Den kvantitativa delen testar matematik upp till ungefär Matematik 1-nivå, och triangelproblem går att lösa med Pythagoras sats och givna mått. Trigonometrin är ett kraftfullt verktyg i gymnasiematematiken, men på provet är den en genväg snarare än ett krav.
Vill du bli vassare på matematik? Träna med blandade uppgifter på hpspelet.se ur vår frågebank med över 25 000 frågor. För fler genomgångar, se Matteboken från Mattecentrum och Skolverkets kursplan i matematik, där sin, cos och tan ingår redan i Matematik 1c. En grundlig genomgång finns även i KTH:s förberedande matematikmaterial.
Vanliga frågor om sin, cos och tan
Vad betyder sin, cos och tan?
Sin, cos och tan är förkortningar för sinus, cosinus och tangens, de tre trigonometriska funktionerna. I en rätvinklig triangel, sett från en spetsig vinkel v, gäller sin v = motstående katet / hypotenusa, cos v = närliggande katet / hypotenusa och tan v = motstående katet / närliggande katet. Värdena beror bara på vinkeln, inte på triangelns storlek.
Vad är SOHCAHTOA?
SOHCAHTOA är en minnesregel för de tre funktionerna. SOH står för Sin = Opposite / Hypotenuse (motstående genom hypotenusa), CAH för Cos = Adjacent / Hypotenuse (närliggande genom hypotenusa) och TOA för Tan = Opposite / Adjacent (motstående genom närliggande). Den gör det lätt att komma ihåg vilken sida som ska delas med vilken.
Hur räknar man ut sinus?
Sinus för en vinkel är motstående katet delat med hypotenusan. För speciella vinklar som 30°, 45° och 60° kan du använda exakta värden (till exempel sin 30° = 1/2). För andra vinklar skriver du sin följt av vinkeln på miniräknaren, exempelvis sin 37° ≈ 0,60. Kontrollera att räknaren står i rätt vinkelläge, DEG för grader eller RAD för radianer.
Vad är arcsin?
Arcsin (även skrivet sin⁻¹) är den inversa funktionen till sinus. Den gör tvärtom: i stället för att gå från vinkel till värde går den från värde till vinkel. Om sin v = 0,5 så är v = arcsin(0,5) = 30°. På samma sätt finns arccos och arctan. På miniräknaren når du dem oftast med knappen 2nd eller shift följt av sin, cos eller tan.
När använder man sin, cos eller tan?
Det beror på vilka sidor du känner till och söker, sett från vinkeln. Är det motstående katet och hypotenusan använder du sinus. Är det närliggande katet och hypotenusan använder du cosinus. Är det de två kateterna (motstående och närliggande) använder du tangens. Söker du en vinkel i stället för en sida använder du den inversa funktionen: arcsin, arccos eller arctan.
