Randvinkelsatsen säger att medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln på samma cirkelbåge. Står en vinkel med spetsen i cirkelns medelpunkt och en vinkel med spetsen på cirkelns rand på samma båge, är den första alltid exakt två gånger den andra. Är medelpunktsvinkeln 130° är randvinkeln 65°. Ur satsen följer tre följdsatser: randvinklar på samma båge är lika stora, en randvinkel på en halvcirkel är 90°, och motstående vinklar i en fyrhörning inskriven i en cirkel har summan 180°.
Här är begreppen, satsen, ett bevis i ord, följdsatserna, sex räknade exempel, felen som kostar poäng och två egna uppgifter i HP-stil. Rita gärna figurerna själv medan du läser, det är så satsen fastnar. Övrig cirkelgeometri finns i guiden till geometri.
Randvinkel och medelpunktsvinkel
Tänk dig en cirkel med medelpunkten M och två punkter A och B på randen. Den del av randen som ligger mellan A och B är en cirkelbåge. Begreppen nedan följer Mattebokens avsnitt om randvinkelsatsen.
| Begrepp |
Betyder |
| Rand | Cirkelns omkrets, alltså själva cirkellinjen |
| Korda | En sträcka mellan två punkter på randen |
| Medelpunktsvinkel | Vinkeln AMB, med spetsen i medelpunkten och radierna MA och MB som ben |
| Randvinkel | Vinkeln ACB, med spetsen i en punkt C på randen och kordorna CA och CB som ben |
Båda vinklarna "står på" bågen AB: deras ben går ut till bågens ändpunkter. Punkten C ska ligga på den del av randen som inte tillhör bågen. Satsen kallas också periferivinkelsatsen.
Randvinkelsatsen
Randvinkelsatsen
medelpunktsvinkel = 2 · randvinkel
randvinkel = medelpunktsvinkel / 2
(båda på samma cirkelbåge)
Exempel 1: från medelpunktsvinkel till randvinkel
Medelpunktsvinkeln AMB är 130°. Randvinkeln ACB på samma båge är 130°/2 = 65°.
Exempel 2: från randvinkel till medelpunktsvinkel
Randvinkeln ACB är 38°. Medelpunktsvinkeln på samma båge är 2 · 38° = 76°.
Randvinkelsatsen, bevis i ord
Beviset bygger på två saker du redan kan: att en likbent triangel har två lika stora basvinklar, och yttervinkelsatsen, som säger att en yttervinkel till en triangel är lika stor som summan av de två inre vinklar som inte ligger intill den. Yttervinkelsatsen följer direkt av triangelns vinkelsumma.
- Dra en diameter från C genom medelpunkten M. Den delar randvinkeln i två delar, x1 och x2, och medelpunktsvinkeln i två delar, y1 och y2.
- Titta på triangeln AMC. Sidorna MA och MC är båda radier, så triangeln är likbent. Vinkeln vid A är därför lika stor som vinkeln vid C, alltså x1.
- Vinkeln y1 är yttervinkel till triangeln AMC. Yttervinkelsatsen ger y1 = x1 + x1 = 2x1.
- Samma resonemang i triangeln BMC ger y2 = 2x2.
- Lägg ihop: y1 + y2 = 2(x1 + x2). Medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln.
Det här är fallet där medelpunkten ligger inuti randvinkeln, samma fall som Matteboken visar. Ligger medelpunkten på ett av vinkelbenen räcker en enda likbent triangel. Ligger den utanför vinkeln används samma idé, med en subtraktion i stället för en addition i sista steget.
Tre följdsatser
Randvinklar på samma båge är lika stora
Alla randvinklar på samma båge är hälften av samma medelpunktsvinkel. Alltså är de lika stora, var på randen spetsen än ligger, så länge den ligger på samma sida om kordan AB.
Exempel 3: Punkterna C och D ligger på samma sida om kordan AB. Vinkeln ACB är 3x − 10 grader och vinkeln ADB är x + 30 grader. Eftersom vinklarna står på samma båge är 3x − 10 = x + 30, vilket ger 2x = 40 och x = 20. Båda vinklarna är 50°.
Thales sats: vinkeln i en halvcirkel är 90°
Är AB en diameter är medelpunktsvinkeln ett halvt varv, 180°. Varje randvinkel på den bågen är då 90°. Det specialfallet kallas Thales sats, och det betyder att en triangel med en diameter som sida och det tredje hörnet på cirkeln alltid är en rätvinklig triangel, med diametern som hypotenusa.
Exempel 4: AB är en diameter med längden 10 cm, C ligger på cirkeln och vinkeln CAB är 35°. Vinkeln ACB är 90° enligt Thales sats, så vinkeln ABC är 180° − 90° − 35° = 55°. Samma sats ger sidlängder. I en annan triangel med diametern AB = 10 cm som hypotenusa och AC = 6 cm ger Pythagoras sats BC2 = 102 − 62 = 64, alltså BC = 8 cm.
Inskriven fyrhörning: motstående vinklar har summan 180°
En fyrhörning är inskriven i en cirkel när alla fyra hörnen ligger på randen. Två motstående vinklar står då på var sin båge, och bågarna är tillsammans hela cirkeln. Deras medelpunktsvinklar har summan 360°, så randvinklarna har summan 180°.
Exempel 5: I den inskrivna fyrhörningen ABCD är vinkeln A 80° och vinkeln B 105°. Då är vinkeln C = 180° − 80° = 100° och vinkeln D = 180° − 105° = 75°. Kontroll: 80° + 105° + 100° + 75° = 360°, som i alla fyrhörningar.
| Du vet |
Du får |
Samband |
| Medelpunktsvinkeln | Randvinkeln på samma båge | Dela med 2 |
| Randvinkeln | Medelpunktsvinkeln på samma båge | Multiplicera med 2 |
| En randvinkel | Alla randvinklar på samma båge | De är lika stora |
| Att en korda är diameter | Randvinkeln på den | 90° |
| En vinkel i en inskriven fyrhörning | Den motstående vinkeln | 180° minus vinkeln |
Exempel 6: satsen tillsammans med en likbent triangel
Punkterna A och B ligger på en cirkel med medelpunkten M, och vinkeln MAB är 25°. Hur stor är randvinkeln ACB, där C ligger på den större bågen?
Triangeln MAB är likbent, eftersom MA och MB är radier. Vinkeln MBA är därför också 25°, och medelpunktsvinkeln AMB är 180° − 2 · 25° = 130°. Randvinkelsatsen ger ACB = 130°/2 = 65°. Att radier ger likbenta trianglar är ett vanligt sätt att få fram den vinkel som satsen behöver.
Vanliga fel
- Att vända på förhållandet. Medelpunktsvinkeln är den stora. Den är dubbelt så stor som randvinkeln, inte hälften.
- Fel båge. Satsen gäller bara vinklar som står på samma båge. Kontrollera att benen går till samma två punkter.
- Spetsen på fel sida om kordan. Ligger C på den korta bågen står randvinkeln på den långa. Är medelpunktsvinkeln mot den korta bågen 140° är randvinkeln från den långa bågens sida 70°, men från den korta bågens sida (360° − 140°)/2 = 110°. De två svaren har summan 180°, precis som i en inskriven fyrhörning.
- En vinkel som inte är en randvinkel. Spetsen måste ligga på randen. En vinkel med spetsen inne i cirkeln eller utanför den följer inte satsen.
- Thales sats utan diameter. Vinkeln är 90° bara när kordan går genom medelpunkten. Står det inte i uppgiften att det är en diameter får du inte anta det av figuren.
Randvinkelsatsen på högskoleprovet
Enligt studera.nu ligger den teoretiska svårighetsgraden för provets matematikuppgifter på Matematik 1b-nivå. Matteboken tar upp randvinkelsatsen i sin kurs Matte 2, så räkna inte med att satsen krävs för att lösa provets uppgifter. Geometri är däremot ett av de områden som XYZ, KVA och NOG enligt studera.nu täcker, och det som satsen bygger på hör till det du har störst nytta av:
- Radier ger likbenta trianglar. Två radier och en korda som inte är en diameter bildar en likbent triangel. Det låser vinklar i många cirkelfigurer.
- Vinkelsummor. 180° i en triangel och 360° i en fyrhörning räcker långt. Resten är att hitta rätt triangel.
- Cirkelns delar. Medelpunktsvinkeln avgör hur stor del av cirkeln en båge eller en sektor är, vilket du behöver när du räknar med cirkelns area.
Mer om hur geometriuppgifterna ser ut finns i guiden till XYZ och guiden till NOG. De två uppgifterna nedan är skrivna för att öva satsen, i de format som delproven använder.
Uppgift 1 (XYZ-stil)
Punkterna A, B och C ligger på en cirkel med medelpunkten M. C ligger på den större bågen AB, och vinkeln ACB är 40°. Hur stor är vinkeln MAB?
A: 40°
B: 50°
C: 80°
D: 100°
Lösning: Medelpunktsvinkeln AMB är 2 · 40° = 80°. Triangeln MAB är likbent, så de två basvinklarna delar på 180° − 80° = 100°. Vinkeln MAB är 50°, och svaret är B. Alternativ C är medelpunktsvinkeln, som frågan inte gäller.
Uppgift 2 (NOG-stil)
Fyrhörningen ABCD är inskriven i en cirkel, med hörnen i ordningen A, B, C, D runt cirkeln. Hur stor är vinkeln C?
(1) Vinkeln A är 70°.
(2) Vinkeln B är 95°.
Tillräcklig information för lösningen erhålls
A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena
Lösning: A och C är motstående vinklar, så (1) ger C = 180° − 70° = 110°. Påstående (2) ger bara den motstående vinkeln D = 85° och säger ingenting om hur de återstående 180° fördelas mellan A och C. Svaret är A.
Vanliga frågor
Vad säger randvinkelsatsen?
Att medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som en randvinkel som står på samma cirkelbåge. Är medelpunktsvinkeln 100° är randvinkeln 50°.
Vad är skillnaden mellan randvinkel och medelpunktsvinkel?
En medelpunktsvinkel har spetsen i cirkelns medelpunkt och två radier som ben. En randvinkel har spetsen på cirkelns rand och två kordor som ben.
Vad är Thales sats?
Specialfallet av randvinkelsatsen där kordan är en diameter. Medelpunktsvinkeln är då 180°, så randvinkeln är 90°. En triangel inskriven i en halvcirkel är alltid rätvinklig.
Hur bevisar man randvinkelsatsen?
Dra en diameter från randvinkelns spets genom medelpunkten. Den skapar två likbenta trianglar, eftersom radierna är lika långa. Yttervinkelsatsen ger sedan att varje del av medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som motsvarande del av randvinkeln.
Varför är summan av motstående vinklar i en inskriven fyrhörning 180 grader?
De två vinklarna är randvinklar på var sin båge, och bågarna bildar tillsammans hela cirkeln. Medelpunktsvinklarna har summan 360°, och randvinklarna är hälften så stora.
Behöver man kunna randvinkelsatsen till högskoleprovet?
Provets matematik ligger på Matematik 1b-nivå, och satsen hör hemma i en senare kurs. Det du behöver är grunderna som satsen vilar på: vinkelsummor, likbenta trianglar och cirkelns delar.
Nästa steg
Rita en cirkel, sätt ut tre punkter och räkna vinklarna tills dubbleringen känns självklar. Träna gratis på HP-frågor och håll utkik efter radier som bildar likbenta trianglar, och ha formelsamlingen till hands för vinklar och cirklar.
