Vinkelsumma: trianglar, fyrhörningar och reglerna du behöver

Vinkelsumman är den regel som gör geometri på högskoleprovet mekanisk i stället för gissning. I varje triangel är de tre inre vinklarna tillsammans alltid 180 grader. I varje fyrhörning är de fyra tillsammans alltid 360 grader. I en n-hörning är summan (n − 2) · 180 grader. Kan du de tre talen, och varför de hänger ihop, räcker det för nästan varje vinkeluppgift i XYZ och KVA.

Här är definitionerna, hur du ritar upp dem utan bild, de följder som faktiskt används på provet, och de fallgropar som tar poäng i onödan.

Triangelns vinkelsumma är 180 grader

En triangel har tre sidor och tre hörn. Summan av de tre inre vinklarna är alltid 180°, oavsett om triangeln är spetsig, rätvinklig eller trubbig, liksidig eller skev. Det är inte ett ungefärligt värde och inte ett medelvärde. Det är en identitet i euklidisk geometri, den geometri högskoleprovet använder.

Känner du två vinklar är den tredje alltså ett subtraktionssteg: 180 minus de två kända. En triangel med vinklarna 50° och 60° har den tredje vinkeln 70°. En rätvinklig triangel har redan låst 90° i ett hörn, så de två spetsiga vinklarna tillsammans är 90°.

Ett bevis du kan rita på kladdpapperet

Föreställ dig triangel ABC, med basen BC nederst och hörnet A uppåt. Dra genom A en linje som är parallell med BC. Den nya linjen är oändlig och ligger ovanför triangeln. Sidan AB skär den parallella linjen och bildar en vinkel som är lika stor som vinkeln vid B, därför att de är alternatvinklar vid parallella linjer. Sidan AC skär samma linje och bildar en vinkel lika stor som vinkeln vid C, av samma skäl. Kvar vid A, mellan de två alternatvinklarna, sitter triangelns egen vinkel vid A. De tre vinklarna ligger nu sida vid sida på en rät linje. En rät linje är 180°. Alltså är triangelns vinkelsumma 180°.

Samma slutsats finns samlad i Wikipedias artikel om vinkelsumma. På provet behöver du inte återge beviset. Du behöver veta att det gäller alltid, och du behöver kunna rita parallellen om en KVA-uppgift gömmer alternatvinklar i en figur med en extra linje.

Tre triangeltyper som låser extra vinklar

Likbent är den uppgiftstyp som lurar flest. Två lika sidor ger två lika basvinklar, inte tre lika vinklar. Tre lika vinklar kräver liksidig triangel. Om basvinklarna är 70° vardera är toppvinkeln 180 − 140 = 40°, inte 70°. Mer om det i guiden till likbent triangel.

I en rätvinklig triangel är den räta vinkeln redan känd. De två andra är komplementvinklar: känner du den ena är den andra 90 minus den. Sidorna hänger ihop genom Pythagoras sats, och hela figuren finns genomgången i rätvinklig triangel. Blanda inte ihop spåren. Vinkelsumman ger vinklar. Pythagoras ger sidlängder. Båda kan behövas i samma XYZ-uppgift, men de svarar på olika frågor.

Fyrhörningens vinkelsumma är 360 grader

En fyrhörning har fyra sidor och fyra hörn. Summan av de fyra inre vinklarna är alltid 360°. Det följer direkt av triangelregeln: dra en diagonal mellan två motstående hörn, så delas fyrhörningen i två trianglar. Två trianglar ger 2 · 180° = 360°.

Föreställ dig fyrhörning ABCD i den ordningen runt randen. Diagonalen AC går från A till C och träffar inte B eller D. Då får du triangel ABC och triangel ADC. Inga vinklar försvinner och inga nya inre vinklar tillkommer utöver dem som redan satt i fyrhörningens hörn. Därför är fyrhörningens vinkelsumma exakt två trianglar.

Känner du tre vinklar är den fjärde 360 minus de tre. En fyrhörning med 80°, 100° och 90° har den fjärde vinkeln 90°. Den vanligaste fallgropen är att använda 180° av gammal vana från trianglar. Svaret blir då 180° för litet, och det alternativet ligger nästan alltid med.

Speciella fyrhörningar ger extra låsningar utöver summan:

• Kvadrat och rektangel: fyra räta vinklar. Summan 360° är uppfylld som 4 · 90°. Du behöver inte räkna, men du får att varje hörn är 90°.
• Parallellogram och romb: motstående vinklar är lika stora, och vinklar som sitter intill varandra längs samma sida är supplementvinklar (tillsammans 180°).
• Parallelltrapets: vinklarna vid varje ben (de icke-parallella sidorna) är supplementvinklar om de två parallella sidorna är de som definierar trapetsen.

Areor och omkretsar för samma figurer ligger i vår geometriguide och i formelsamlingen. Den här artikeln stannar vid vinklarna.

n-hörning: formeln (n − 2) · 180°

En konvex n-hörning (månghörning med n sidor) kan delas i n − 2 trianglar från ett enda hörn. Från det hörnet drar du diagonaler till alla hörn utom de två närmaste och utom hörnet självt. Det är precis n − 3 diagonaler, och de skapar n − 2 trianglar. Varje triangel bidrar med 180°, så den inre vinkelsumman blir:

Vinkelsumma = (n − 2) · 180°

Triangel: n = 3 ger (1) · 180° = 180°
Fyrhörning: n = 4 ger (2) · 180° = 360°
Femhörning: n = 5 ger (3) · 180° = 540°
Sexhörning: n = 6 ger (4) · 180° = 720°

Kontrollen är inbyggd: formeln återskapar de två fall du redan kan utantill. Om du glömmer om det är n − 2 eller n − 1, testa med triangeln. Bara n − 2 ger 180°.

I en regelbunden n-hörning är alla inre vinklar lika stora. Då är varje inre vinkel vinkelsumman delat med n, alltså ((n − 2) / n) · 180°. En regelbunden femhörning har inre vinklar på 108°. En regelbunden sexhörning har 120°, vilket är därför regelbundna hexagoner tessellerar planet utan glipor. Härledningen finns också i Wikipedias artikel om månghörning.

En typisk XYZ-uppgift ger vinkelsumman och ber om varje inre vinkel, eller tvärtom. Exempel: en regelbunden månghörning har vinkelsumman 1440°. Hur stor är varje inre vinkel? Först n ur formeln: (n − 2) · 180 = 1440 ger n − 2 = 8, alltså n = 10. Sedan 1440 / 10 = 144°. Den som hoppar över n och delar 1440 med 8 (för att n − 2 redan var 8) får 180° och väljer fel alternativ.

Yttre vinklar: ett varv är 360 grader

En yttre vinkel vid ett hörn bildas när du förlänger en sida förbi hörnet. I en konvex månghörning ligger den yttre vinkeln intill den inre, så de två tillsammans är 180°. Känner du den inre är den yttre 180 minus den inre.

Gå ett varv runt en konvex månghörning och ta exakt en yttre vinkel per hörn, alla åt samma håll. De yttre vinklarna bildar tillsammans ett fullt varv, alltså 360°, oavsett hur många sidor figuren har. Triangel, fyrhörning och tiohörning har samma yttre vinkelsumma. Det som ändras är hur summan fördelas på hörnen.

I en regelbunden n-hörning är varje yttre vinkel 360° / n. En regelbunden pentagon har yttre vinklar på 72°. En regelbunden hexagon har 60°. Kopplingen till den inre vinkeln är densamma som förut: inre = 180 − yttre. För hexagonen: 180 − 60 = 120, vilket stämmer med tabellen.

På kladdpapperet: rita en fyrhörning som inte är en kvadrat, förläng varje sida en bit förbi nästa hörn, och markera de fyra yttre vinklarna utåt. De fyra "svängarna" du gör när du går runt randen är precis 360°. Du har svängt ett varv när du är tillbaka vid start.

Så testas vinkelsumman på högskoleprovet

Vinkelsumman är ingen egen uppgiftstyp, men den sitter i två av de kvantitativa delproven:

• XYZ. Räkna ut en saknad vinkel, antalet sidor ur en given vinkelsumma, eller varje inre vinkel i en regelbunden n-hörning. Tempot avgörs av om formeln sitter. En uppgift som tar tre minuter om du ritar om från noll tar tjugo sekunder om du skriver (n − 2) · 180 direkt.
• KVA. Jämförelser av typen "kvantitet I: den tredje vinkeln i en triangel med 50° och 60°, kvantitet II: 70°". De är lika, svaret är C. Eller: "kvantitet I: toppvinkeln i en likbent triangel med basvinklar 70°, kvantitet II: 50°". I är 40°, II är större, svaret är B. NOG använder samma identiteter som villkor: "x är en vinkel i en triangel" säger att x är mellan 0° och 180°, inte mer.

Tre saker som tar poäng i onödan, i den ordning de dyker upp i facitkommentarer:

1. Använda 180° på en fyrhörning. Alternativet som är 180° för litet är utlagt just för det.
2. Tro att likbent betyder liksidig. Två lika sidor ger två lika vinklar, inte tre.
3. Dela vinkelsumman med n − 2 i stället för med n när uppgiften frågar efter varje inre vinkel i en regelbunden n-hörning.

Hur de kvantitativa delproven är uppbyggda finns i guiderna till XYZ och KVA. Formlerna ovan hör hemma på samma blad som Pythagoras och area, alltså i HP-formlerna.

Vanliga frågor

Vad är vinkelsumman i en triangel?

Alltid 180 grader. Känner du två vinklar är den tredje 180 minus de två. Regeln gäller i euklidisk geometri, som är den geometri högskoleprovet använder.

Vad är vinkelsumman i en fyrhörning?

Alltid 360 grader. En diagonal delar fyrhörningen i två trianglar, och 2 · 180° = 360°. Känner du tre vinklar är den fjärde 360 minus de tre.

Hur räknar man ut vinkelsumman i en n-hörning?

Med formeln (n − 2) · 180°. En femhörning har alltså 540°, en sexhörning 720°. I en regelbunden n-hörning är varje inre vinkel den summan delat med n.

Vad är skillnaden mellan inre och yttre vinklar?

Den inre vinkeln sitter inne i hörnet. Den yttre bildas när du förlänger en sida förbi hörnet. I en konvex månghörning är de supplementvinklar, tillsammans 180°. Summan av ett varv yttre vinklar är alltid 360°, oavsett antal sidor.

Hur används vinkelsumman på högskoleprovet?

I XYZ som räkneuppgifter om saknade vinklar och regelbundna n-hörningar, i KVA som jämförelser där en vinkel är låst av 180° eller 360°. Formeln sitter. Ritar du om varje figur från noll tar du för lång tid.

Träna på riktigt

Vinkeluppgifter är rena tidsvinster när identiteterna sitter, och rena tidsförluster när du blandar 180 och 360. Träna gratis på HP-frågor och se hur snabbt du känner igen vilken formel figuren kräver.