Ett lådagram är ett diagram som sammanfattar en mängd värden med fem tal: minsta värdet, nedre kvartilen, medianen, övre kvartilen och största värdet. Lådan går från nedre till övre kvartilen och rymmer den mittersta hälften av värdena. Ett streck i lådan visar medianen, och från lådans kanter går linjer ut till det minsta och det största värdet. Diagrammet visar alltså både var värdena ligger och hur utspridda de är.
Här är hur kvartiler räknas ut, hur du läser ett lådagram, vad variationsbredd och kvartilavstånd säger, tre räknade exempel, felen som kostar poäng och två egna uppgifter i HP-stil. Du behöver kunna räkna ut en median, resten bygger på den.
Vad visar ett lådagram?
Matteboken beskriver i avsnittet om kvartiler och lådagram hur diagrammet ritas på en tallinje: en låda vars sidor ligger vid den nedre och den övre kvartilen, medianen markerad med en linje inuti lådan, och en linje från vardera sidan ut till det lägsta och det högsta värdet. På engelska heter diagrammet box plot.
| Värde |
Beteckning |
Del av diagrammet |
| Minsta värdet | min | Vänstra linjens ände |
| Nedre kvartilen | Q1 | Lådans vänstra kant |
| Medianen | Q2 | Strecket i lådan |
| Övre kvartilen | Q3 | Lådans högra kant |
| Största värdet | max | Högra linjens ände |
De fem talen delar de sorterade värdena i fyra delar med ungefär en fjärdedel av värdena i varje: vänstra linjen, lådans vänstra del, lådans högra del och högra linjen. Det är det viktigaste att ha med sig när du läser diagrammet. En lång del innehåller inte fler värden än en kort. Den innehåller lika många, men mer utspridda.
Kvartiler: så räknar du ut dem
Kvartil betyder fjärdedel. Medianen delar de sorterade värdena i två lika stora halvor. Nedre kvartilen delar den lägre halvan i två lika stora delar, och övre kvartilen gör samma sak med den högre halvan. Så beskriver Matteboken det, och det ger en metod i fyra steg:
- Sortera värdena i storleksordning.
- Bestäm medianen. Vid ett udda antal värden är det mittenvärdet, vid ett jämnt antal medelvärdet av de två i mitten.
- Nedre kvartilen Q1 är medianen av värdena till vänster om mitten.
- Övre kvartilen Q3 är medianen av värdena till höger om mitten.
Vid ett udda antal värden räknas mittenvärdet inte in i någon av halvorna i den här artikeln. Det stämmer med Mattebokens exempel, där 15 åldrar med medianen 33 år får nedre kvartilen 8 år och övre kvartilen 44 år.
Läroböcker räknar inte alltid likadant
Det finns mer än en definition av kvartiler. Wikipedia beskriver en alternativ definition där nedre kvartilen är värdet med rangtalet (n + 1)/4 och övre kvartilen värdet med rangtalet 3(n + 1)/4, med interpolering mellan värden när rangtalet inte är ett heltal, och konstaterar att skillnaden mellan definitionerna i de flesta fall blir liten. Får du ett annat svar än en kamrat eller ett program på en liten datamängd kan det alltså vara metoden som skiljer, inte räkningen. Använd den metod som din lärobok anger.
Variationsbredd och kvartilavstånd
Två spridningsmått
Variationsbredd = största värdet − minsta värdet
Kvartilavstånd = Q3 − Q1
Variationsbredden är hela diagrammets längd. Den är lätt att räkna ut men bestäms helt av de två yttersta värdena, så ett enda avvikande värde ändrar den kraftigt. Kvartilavståndet är lådans längd, alltså spridningen hos den mittersta hälften av värdena. Det påverkas inte av enstaka extremvärden. Samma skillnad finns mellan lägesmåtten: medelvärdet dras med av extremvärden, medianen gör det inte. Ett tredje lägesmått, typvärdet, syns inte alls i ett lådagram.
Exempel 1: nio värden
Värdena är 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13 och 15, redan sorterade. Det femte värdet är i mitten, så medianen är 8. Vänstra halvan är 2, 4, 5, 7 med medianen (4 + 5)/2 = 4,5. Högra halvan är 10, 11, 13, 15 med medianen (11 + 13)/2 = 12.
| min |
Q1 |
Median |
Q3 |
max |
Variationsbredd |
Kvartilavstånd |
| 2 | 4,5 | 8 | 12 | 15 | 15 − 2 = 13 | 12 − 4,5 = 7,5 |
Rita en tallinje från 0 till 16. Lådan går från 4,5 till 12 med ett streck vid 8. Linjerna går ut till 2 och till 15.
Exempel 2: åtta värden
Värdena är 12, 15, 15, 18, 20, 22, 25 och 31. Antalet är jämnt, så medianen är medelvärdet av det fjärde och femte värdet: (18 + 20)/2 = 19. Nu finns inget mittenvärde att hoppa över. Vänstra halvan är 12, 15, 15, 18 med medianen 15. Högra halvan är 20, 22, 25, 31 med medianen (22 + 25)/2 = 23,5.
| min |
Q1 |
Median |
Q3 |
max |
Variationsbredd |
Kvartilavstånd |
| 12 | 15 | 19 | 23,5 | 31 | 31 − 12 = 19 | 23,5 − 15 = 8,5 |
Lådans högra del, från 19 till 23,5, är något längre än den vänstra, från 15 till 19. Och den högra linjen, från 23,5 till 31, är mycket längre än den vänstra. De högsta värdena är alltså mer utspridda än de lägsta.
Jämföra två lådagram
Lådagram är som mest användbara när två grupper ritas på samma tallinje. Jämför då tre saker: var medianstrecken ligger, hur långa lådorna är och hur långt linjerna når.
Exempel 3: två klasser, samma median
Två klasser med elva elever var har skrivit samma prov.
- Klass A: 10, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 24, 30
- Klass B: 14, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 21, 22
Med elva värden är det sjätte värdet medianen, och halvorna har fem värden var, så kvartilerna är det tredje värdet från varje håll.
|
min |
Q1 |
Median |
Q3 |
max |
Variationsbredd |
Kvartilavstånd |
| Klass A | 10 | 14 | 18 | 22 | 30 | 20 | 8 |
| Klass B | 14 | 17 | 18 | 20 | 22 | 8 | 3 |
Medianen är 18 i båda klasserna. Tittar du bara på den ser klasserna likadana ut. Lådagrammen visar skillnaden: klass A har en låda från 14 till 22 och linjer ut till 10 och 30, medan klass B har en kort låda från 17 till 20 och linjer till 14 och 22. Resultaten i klass B är mycket mer samlade. Vill du ha ett enda tal för spridningen som tar hänsyn till alla värden är standardavvikelsen nästa steg.
Extremvärden
I Mattebokens version dras linjerna alltid till det lägsta och det högsta värdet, och det är den versionen som används här. Det finns också en variant där värden långt från lådan ritas som egna punkter. Wikipedia beskriver att värden som ligger längre från lådan än 1,5 gånger kvartilavståndet då betraktas som extremvärden. I klass A skulle gränsen uppåt bli 22 + 1,5 · 8 = 34, så värdet 30 är inget extremvärde med den regeln.
Vanliga fel
- Att tro att en lång del innehåller fler värden. Varje del rymmer ungefär en fjärdedel. Längden visar spridning, inte antal.
- Att glömma sortera. Median och kvartiler bestäms alltid ur de sorterade värdena.
- Att läsa medianen som medelvärde. Strecket i lådan är medianen. Medelvärdet går inte att läsa av i ett lådagram.
- Att blanda ihop variationsbredd och kvartilavstånd. Variationsbredden är hela diagrammets längd, kvartilavståndet är bara lådans.
- Att läsa av enskilda värden. Diagrammet visar fem tal. Hur värdena fördelar sig inom varje del, eller hur många de är, syns inte.
Lådagram på högskoleprovet
Enligt studera.nu ligger den teoretiska svårighetsgraden för provets matematikuppgifter på Matematik 1b-nivå, och samma sida råder dig att träna på att avläsa diagram och tabeller. Matteboken tar upp kvartiler och lådagram i sin kurs Matte 2, så räkna inte med att lådagram är en vanlig diagramtyp på provet. Det som är värt att kunna är det diagrammet bygger på:
- DTK. Delprovet prövar förmågan att hämta och tolka information ur diagram, tabeller och kartor. Vanan att först fråga vad varje del av ett diagram står för, och vad som inte går att läsa ut, är densamma oavsett diagramtyp. Se guiden till DTK.
- XYZ, KVA och NOG. Statistik är ett av de områden som delproven täcker. Median, medelvärde och spridning i små talmängder är precis den sortens räkning som ett lådagram tränar.
- Att dela upp en grupp. Kvartiler delar värden i fyra lika stora grupper, på samma sätt som ett venndiagram delar en grupp i delar som inte överlappar. I båda fallen gäller det att veta vilken andel som hamnar var.
Uppgift 1 (XYZ-stil)
Ett lådagram visar åldern hos 200 personer. Minsta värdet är 18 år, nedre kvartilen 25 år, medianen 32 år, övre kvartilen 45 år och största värdet 70 år. Ungefär hur många av personerna är mellan 25 och 45 år?
A: 50
B: 100
C: 150
D: 200
Lösning: Lådan går från nedre till övre kvartilen och rymmer den mittersta hälften av värdena. Hälften av 200 är 100. Svaret är B. Att lådan är 20 år bred medan hela diagrammet är 52 år brett spelar ingen roll för antalet.
Uppgift 2 (KVA-stil)
Sju värden: 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14.
Kvantitet I: kvartilavståndet
Kvantitet II: medianen
A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig
Lösning: Medianen är det fjärde värdet, 8. Vänstra halvan är 3, 5, 6 med medianen 5, högra halvan är 9, 11, 14 med medianen 11. Kvartilavståndet är 11 − 5 = 6. Eftersom 8 är större än 6 är svaret B.
Vanliga frågor
Vad är ett lådagram?
Ett diagram som sammanfattar värden med fem tal: minsta värdet, nedre kvartilen, medianen, övre kvartilen och största värdet. Lådan rymmer den mittersta hälften av värdena och linjerna når ut till ytterligheterna.
Hur räknar man ut kvartiler?
Sortera värdena och bestäm medianen. Nedre kvartilen är medianen av den lägre halvan och övre kvartilen är medianen av den högre halvan. Definitionen varierar något mellan läroböcker, så följ den metod din bok använder.
Vad är kvartilavstånd?
Skillnaden mellan övre och nedre kvartilen, alltså lådans längd. Det mäter spridningen hos den mittersta hälften av värdena och påverkas inte av enstaka extremvärden.
Vad är skillnaden mellan variationsbredd och kvartilavstånd?
Variationsbredden är största värdet minus minsta värdet och beror bara på de två yttersta värdena. Kvartilavståndet är övre kvartilen minus nedre kvartilen och beskriver spridningen kring medianen.
Kan man läsa av medelvärdet i ett lådagram?
Nej. Strecket i lådan visar medianen. Medelvärdet kräver att du känner alla värden, och de syns inte i diagrammet.
Nästa steg
Ta en liten talmängd, sortera den och bestäm de fem talen på tid tills det går utan att tänka. Träna gratis på HP-frågor och öva på att läsa ut vad ett diagram faktiskt visar innan du räknar.
