Förändringsfaktorn är det tal du multiplicerar ett gammalt värde med för att få det nya: förändringsfaktor = nytt värde / gammalt värde. En ökning med 20 % har förändringsfaktorn 1,20 och en minskning med 20 % har 0,80. Faktorn är större än 1 vid ökning och mindre än 1 vid minskning. Poängen är att en procentuell förändring blir en enda multiplikation, och att flera förändringar i rad blir en produkt av faktorer.
Här är formeln, tabellen mellan procent och faktor, upprepade förändringar, hur du räknar baklänges till ursprungsvärdet, kopplingen till exponentialfunktioner, felen som kostar poäng och två egna uppgifter i HP-stil. Grunderna i procenträkning finns i guiden hur räknar man procent.
Förändringsfaktor: formel och definition
Förändringsfaktor
förändringsfaktor = nytt värde / gammalt värde
nytt värde = gammalt värde · förändringsfaktor
gammalt värde = nytt värde / förändringsfaktor
Definitionen följer Mattebokens avsnitt om förändringsfaktor, där faktorn anger förhållandet mellan det nya och det gamla värdet. De tre raderna är samma samband löst åt olika håll, och vilken du behöver beror på vad uppgiften frågar efter.
Kopplingen till procent: en ökning med p % ger faktorn 1 + p/100, en minskning med p % ger 1 − p/100. Åt andra hållet drar du bort 1 från faktorn. Faktorn 1,45 betyder +45 % och faktorn 0,6 betyder −40 %, eftersom 0,6 − 1 = −0,4.
| Förändring |
Förändringsfaktor |
Förändring |
Förändringsfaktor |
| +5 % | 1,05 | −5 % | 0,95 |
| +10 % | 1,10 | −10 % | 0,90 |
| +20 % | 1,20 | −20 % | 0,80 |
| +25 % | 1,25 | −25 % | 0,75 |
| +50 % | 1,50 | −50 % | 0,50 |
| +100 % | 2 | −75 % | 0,25 |
| +150 % | 2,5 | −100 % | 0 |
En förändringsfaktor kan vara hur stor som helst men aldrig negativ. Faktorn 2 betyder en fördubbling, alltså +100 %, inte +200 %. Faktorn 1 betyder att ingenting har hänt.
Räkna med förändringsfaktor: tre grunduppgifter
Exempel 1: hitta faktorn
Ett pris höjs från 400 kr till 460 kr. Förändringsfaktorn är 460/400 = 1,15. Priset har ökat med 15 %.
Exempel 2: hitta det nya värdet
En jacka för 1 200 kr sänks med 30 %. Faktorn är 0,70, så det nya priset är 1 200 · 0,7 = 840 kr. Du behöver aldrig räkna ut rabatten i kronor först.
Exempel 3: hitta det gamla värdet
Efter en höjning med 25 % kostar ett gymkort 750 kr. Vad kostade det före? Dividera med faktorn: 750 / 1,25 = 600 kr. Kontroll: 600 · 1,25 = 750.
Den här riktningen går lätt fel. En tröja kostar 640 kr efter 20 % rabatt. Ursprungspriset är 640 / 0,8 = 800 kr. Att lägga tillbaka 20 % på reapriset ger 640 · 1,2 = 768 kr, vilket är fel, eftersom de 20 procenten räknades på det gamla priset och inte på det nya.
Upprepad procentuell förändring
När ett värde ändras flera gånger i rad multiplicerar du faktorerna. Matteboken skriver det som att den totala förändringsfaktorn är produkten av alla förändringsfaktorer.
Total förändringsfaktor
faktortotal = faktor1 · faktor2 · faktor3 · …
Exempel 4: upp 20 %, ner 20 %
Ett pris höjs med 20 % och sänks sedan med 20 %. Total faktor: 1,2 · 0,8 = 0,96. Priset har sjunkit med 4 %, inte hamnat där det började. Sänkningen räknas på det högre priset och blir därför större i kronor än höjningen. Ordningen spelar däremot ingen roll, eftersom 0,8 · 1,2 också är 0,96.
Exempel 5: samma förändring flera år
En hyra höjs med 10 % per år i tre år. Total faktor: 1,1 · 1,1 · 1,1 = 1,13 = 1,331. Hyran har ökat med 33,1 %, inte med 30 %. Skillnaden är procenten på procenten. Samma mekanism ligger bakom ränta på ränta: 5 000 kr som växer med 4 % per år i tre år blir 5 000 · 1,043 = 5 624,32 kr.
Exempel 6: hitta den årliga förändringen
Ett värde har ökat med 44 % på två år, lika mycket i procent varje år. Den totala faktorn är 1,44, och den årliga faktorn x uppfyller x2 = 1,44. Eftersom 1,2 · 1,2 = 1,44 är x = 1,2. Ökningen var 20 % per år, inte 22 %.
| Förändringar i rad |
Total faktor |
Total förändring |
| +20 % och sedan −20 % | 1,2 · 0,8 = 0,96 | −4 % |
| +10 % två gånger | 1,1 · 1,1 = 1,21 | +21 % |
| +50 % två gånger | 1,5 · 1,5 = 2,25 | +125 % |
| −10 % två gånger | 0,9 · 0,9 = 0,81 | −19 % |
| −20 % och sedan +10 % | 0,8 · 1,1 = 0,88 | −12 % |
| +25 % och sedan −20 % | 1,25 · 0,8 = 1 | 0 % |
Sista raden visar vad som krävs för att komma tillbaka. Efter en ökning med 25 % behövs en minskning med 20 %, eftersom 1/1,25 = 0,8. Efter en halvering behövs en fördubbling, eftersom 1/0,5 = 2.
Från förändringsfaktor till exponentialfunktion
Upprepas samma faktor a en gång per tidsenhet blir värdet efter x perioder y = C · ax, där C är startvärdet. Det är en exponentialfunktion, och förändringsfaktorn är dess bas. En faktor över 1 ger tillväxt och en faktor mellan 0 och 1 ger avtagande. Exempel 5 är alltså funktionen y = C · 1,1x avläst vid x = 3.
Stora startvärden gör inte räkningen svårare om du skriver dem med tiopotenser. En stad med 2 · 105 invånare som växer med 5 % har efteråt 2 · 105 · 1,05 = 2,1 · 105 invånare. Mer om det skrivsättet i artikeln om grundpotensform.
Vanliga fel
- Att addera procentsatser. +10 % och +10 % är +21 %, inte +20 %. Procent på olika basvärden får inte läggas ihop. Multiplicera faktorerna.
- Att gå baklänges med samma procent. Ursprungsvärdet före en rabatt på 20 % får du genom att dividera med 0,8, inte genom att multiplicera med 1,2.
- Fel faktor vid minskning. En minskning med 30 % har faktorn 0,70, inte 0,30. Faktorn är det som finns kvar.
- Att läsa faktorn som procent. Faktorn 1,5 betyder +50 %. Faktorn 2,5 betyder +150 %.
- Att blanda ihop procent och procentenheter. Stiger en ränta från 2 % till 3 % har den ökat med en procentenhet, men förändringsfaktorn är 3/2 = 1,5, alltså en ökning med 50 %. Skillnaden reds ut i artikeln om procentenheter.
Förändringsfaktor på högskoleprovet
Enligt studera.nu ligger den teoretiska svårighetsgraden för provets matematikuppgifter på Matematik 1b-nivå, och Matteboken tar upp förändringsfaktor i sin kurs Matte 1. Procenträkning ryms inom aritmetik och algebra, två av de områden som XYZ, KVA och NOG enligt studera.nu täcker, och du räknar för hand: miniräknare finns inte bland de tillåtna hjälpmedlen på provdagen. Förändringsfaktorn hjälper på tre sätt:
- XYZ. En förändring i flera steg blir en produkt av enkla decimaltal. Ofta behövs inget startvärde alls, bara faktorerna.
- KVA. Två kvantiteter ska jämföras, och de fasta svarsalternativen är att I är större, att II är större, att de är lika eller att informationen är otillräcklig. Att jämföra 1,1 · 1,1 med 1,2 går fortare än att räkna ut två slutpriser.
- DTK. När ett diagram eller en tabell visar värden för två år är frågan om procentuell förändring en division: nytt genom gammalt. Avrunda till enkla tal och uppskatta faktorn.
Uppgift 1 (XYZ-stil)
Priset på en vara höjs först med 25 % och sänks sedan med 20 %. Hur förhåller sig slutpriset till ursprungspriset?
A: Det är 5 % lägre
B: Det är oförändrat
C: Det är 5 % högre
D: Det är 45 % högre
Lösning: Total faktor: 1,25 · 0,8 = 1. Slutpriset är detsamma som ursprungspriset, så svaret är B. Alternativ C är fällan för den som räknar 25 − 20 = 5. Alternativ D får den som lägger ihop procentsatserna.
Uppgift 2 (KVA-stil)
Kvantitet I: priset efter att 500 kr har höjts med 10 % två gånger i rad
Kvantitet II: priset efter att 500 kr har höjts med 20 % en gång
A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig
Lösning: Kvantitet I har faktorn 1,1 · 1,1 = 1,21 och kvantitet II har faktorn 1,2. Samma startvärde, större faktor: I är större, så svaret är A. I kronor är det 605 mot 600, men faktorerna räcker för att avgöra saken.
Vanliga frågor
Vad är förändringsfaktor?
Det tal som det gamla värdet multipliceras med för att ge det nya, alltså nytt värde delat med gammalt värde. Faktorn 1,2 betyder en ökning med 20 % och faktorn 0,8 en minskning med 20 %.
Hur räknar man ut förändringsfaktorn?
Dividera det nya värdet med det gamla. Går ett pris från 400 kr till 460 kr är faktorn 460/400 = 1,15. Känner du procenten i stället är faktorn 1 plus eller minus procentsatsen i decimalform.
Vilken förändringsfaktor motsvarar en minskning med 25 procent?
0,75. Faktorn vid en minskning är det som finns kvar: 1 − 0,25 = 0,75.
Hur räknar man med upprepad procentuell förändring?
Multiplicera förändringsfaktorerna med varandra. Tre år med 10 % ökning per år ger 1,1 · 1,1 · 1,1 = 1,331, alltså en total ökning med 33,1 %.
Varför blir +20 procent och sedan −20 procent inte noll?
Därför att de två procentsatserna räknas på olika värden. Sänkningen görs på det högre priset. Den totala faktorn är 1,2 · 0,8 = 0,96, vilket är en minskning med 4 %.
Kan förändringsfaktorn vara större än 2?
Ja. Den har ingen övre gräns. Faktorn 3 betyder att värdet har tredubblats, vilket är en ökning med 200 %. Däremot kan den inte vara negativ.
Nästa steg
Lär dig tabellen mellan procent och faktor så att 0,8 och 1,25 kommer utan eftertanke. Träna gratis på HP-frågor och översätt varje procentuppgift till faktorer innan du räknar, och ha formelsamlingen öppen vid sidan av.
