Yttervinkel: summan av två inre vinklar

En yttervinkel i en triangel är lika med summan av de två inre vinklar som inte ligger intill den. Triangelns inre vinkelsumma är 180 grader. Yttervinkeln och den intilliggande inre vinkeln är tillsammans också 180 grader, eftersom de ligger på en rät linje. De två påståendena ger samma yttervinkel.

Inre vinklar och den räta linjen

En triangel har tre inre vinklar, en vid varje hörn. Oavsett hur triangeln ser ut är summan av de tre 180 grader. Det är vinkelsumman, och den är grunden för resten av räkningen. En utförlig genomgång finns i artikeln om vinkelsumma.

En yttervinkel bildas när du förlänger en sida förbi ett hörn. Den nya vinkeln ligger utanför triangeln, intill en av de inre vinklarna. Tillsammans bildar yttervinkeln och den intilliggande inre vinkeln en rät linje. En rät linje är 180 grader, så de två vinklarna adderas till 180 grader. Känner du den ena får du den andra genom att räkna ut vad som saknas upp till 180.

De två inre vinklar som inte ligger vid samma hörn kallas de som inte ligger intill yttervinkeln. Yttervinkelsatsen säger att yttervinkeln är lika med summan av just de två. Du behöver alltså inte mäta yttervinkeln om du redan har de två avlägsna inre vinklarna. Du adderar dem.

50, 60 och 70 grader, steg för steg

Triangeln har de inre vinklarna 50 grader, 60 grader och 70 grader. Yttervinkeln ska räknas vid hörnet med 70 grader. Varje steg står för sig.

1. Kontrollera vinkelsumman. 50 + 60 = 110. 110 + 70 = 180. De tre inre vinklarna stämmer med 180 grader.
2. Yttervinkeln vid 70-gradershörnet är summan av de två inre vinklar som inte ligger intill den. Det är 50 grader och 60 grader.
3. 50 + 60 = 110. Yttervinkeln är 110 grader.
4. Kontroll mot den räta linjen: den intilliggande inre vinkeln är 70 grader, och 70 + 110 = 180. Paret fyller den räta linjen.

Båda vägarna ger 110 grader. Den ena adderar 50 och 60. Den andra använder att yttervinkel och intilliggande inre vinkel tillsammans är 180, så 180 minus 70 är 110. Talen är samma räkning sedd från två håll: 70 + 110 = 180. Ingen av vägarna ändrar de inre vinklarna. 50, 60 och 70 ligger kvar inuti triangeln.

Varför de två vägarna måste ge samma tal

De tre inre vinklarna summerar till 180 grader. Yttervinkeln och den intilliggande inre vinkeln summerar också till 180 grader. Tar du bort den intilliggande inre vinkeln ur vinkelsumman blir alltså kvar samma tal som yttervinkeln. I exemplet tar du bort 70 från 180 och får 110, vilket är 50 + 60.

Därför kan du välja den väg som passar uppgiften. Har du de två avlägsna vinklarna adderar du dem. Har du bara den intilliggande inre vinkeln räknar du 180 minus den vinkeln. Har du alla tre gör du båda och jämför. Stämmer de inte överens är antingen en inre vinkel felskriven, eller så har du adderat den intilliggande vinkeln i stället för de två andra. Just det felet är vanligt: 70 + 60 blir 130, och 130 är inte yttervinkeln vid 70-gradershörnet. De 70 graderna ligger intill och ska inte vara med i summan.

Vinklarna säger inget om hur stor triangeln är. 50, 60 och 70 grader kan sitta i en liten triangel eller en stor. Arean kräver minst en längd, till exempel en bas och en höjd. Den räkningen görs i artikeln om triangelns area, efter att vinklarna är klara.

Det här är inte randvinkelsatsen

Yttervinkelsatsen i triangeln handlar om en förlängd sida och de inre vinklarna. Randvinkelsatsen är en annan sats. Den handlar om vinklar i en cirkel: en randvinkel och en medelpunktsvinkel som står på samma båge. Namnen ligger nära varandra, men figurerna gör det inte. Ser du en cirkel och en båge är det inte den här additionen 50 + 60. Ser du en triangel och en förlängd sida är det inte randvinkeln.

En snabb läsning av figuren räcker som sortering. Tre hörn och en sida som fortsätter förbi ett hörn: yttervinkel, summan av de två inre vinklar som inte ligger intill. En cirkel med en vinkel vid randen: randvinkelsatsen, egen regel. Blanda inte svaren mellan de två.

Vanliga frågor

Hur stor är triangelns inre vinkelsumma?

Triangelns inre vinkelsumma är 180 grader. I exemplet är vinklarna 50, 60 och 70 grader. 50 + 60 = 110 och 110 + 70 = 180. Stämmer inte summan är en vinkel felskriven, och yttervinkeln blir fel den också.

Hur räknar jag ut en yttervinkel?

Addera de två inre vinklar som inte ligger intill yttervinkeln. Vid hörnet med 70 grader är det 50 + 60 = 110 grader. Du kan också räkna 180 minus den intilliggande inre vinkeln. 180 minus 70 är 110. Båda vägarna ska ge samma tal.

Varför är yttervinkeln och den intilliggande vinkeln 180 grader?

De ligger på en rät linje. Sidan har förlängts förbi hörnet, och den inre vinkeln och yttervinkeln fyller linjen tillsammans. En rät linje är 180 grader. Därför är 70 + 110 = 180 i exemplet.

Vad blir yttervinkeln om vinklarna är 50, 60 och 70 grader?

Vid 70-gradershörnet är yttervinkeln 50 + 60 = 110 grader. 70 grader ligger intill och ska inte adderas in i den summan. Kontrollen är 70 + 110 = 180. De tre inre vinklarna är fortfarande 50, 60 och 70.

Är yttervinkelsatsen samma sak som randvinkelsatsen?

Nej. Yttervinkelsatsen här handlar om en triangel och en förlängd sida. Randvinkelsatsen handlar om vinklar i en cirkel, en randvinkel och en medelpunktsvinkel på samma båge. Det är en annan sats. Använd inte 50 + 60 på en cirkelfigur.

Nästa steg

Den samlade definitionen finns under yttervinkelsatsen.

Rita triangeln, förläng en sida och markera vilken inre vinkel som ligger intill. Räkna 50 + 60 och kontrollera med 70 + 110 = 180. När den vanan sitter kan du ta ett quiz med geometri, eller gå till XYZ-delen där en figur ofta blandar vinkelsumma och en förlängd sida. Håll randvinkeln borta tills cirkeln faktiskt är med i bilden.