Arean av en triangel är basen gånger höjden delat med två, A = b · h / 2. Höjden är det vinkelräta avståndet från basen till det motstående hörnet. En triangel med basen 10 cm och höjden 6 cm har arean 10 · 6 / 2 = 30 cm². Formeln gäller för alla trianglar, men i en trubbvinklig triangel kan höjden hamna utanför själva triangeln, och där är det lätt att göra fel.
Här är formeln och varför den fungerar, hur du hittar höjden i olika sorters trianglar, Herons formel och areasatsen för de fall du saknar höjden, vanliga fel och två egna uppgifter i HP-stil.
Triangelns area: formeln
A = b · h / 2
b = basen, en valfri sida
h = höjden, vinkelrät mot basen, till motstående hörn
Matteboken ger formeln i kursen Matte 1. Vilken sida som helst kan vara bas, så länge höjden mäts mot just den sidan. En triangel har alltså tre par av bas och höjd, och alla tre ger samma area.
Varför formeln delar med två
Lägg två exakt likadana trianglar mot varandra, den ena vänd ett halvt varv. Tillsammans bildar de en parallellogram med samma bas och samma höjd som triangeln. Parallellogrammens area är b · h, och varje triangel är hälften av den. Mer om den figuren finns i artikeln om parallellogram.
I en rätvinklig triangel syns det ännu tydligare. Två likadana rätvinkliga trianglar bildar en rektangel, och rektangelns area är bas gånger höjd.
Så hittar du höjden
Spetsvinklig triangel
Om alla vinklar är mindre än 90° landar höjden inne i triangeln, på basen. Det är fallet de flesta tänker på.
Rätvinklig triangel
De två sidorna som möts i den räta vinkeln, kateterna, är varandras höjder. En rätvinklig triangel med kateterna 6 cm och 8 cm har arean 6 · 8 / 2 = 24 cm². Hypotenusan på 10 cm behövs inte. Mer om den triangeln finns i artikeln om rätvinklig triangel.
Trubbvinklig triangel: höjden hamnar utanför
Är en av vinklarna större än 90° kan höjden mot en av de korta sidorna inte landa på sidan själv. Du får förlänga basen och mäta höjden ner till förlängningen.
Exempel: Triangeln har hörnen A(0, 0), B(4, 0) och C(7, 3).
Basen AB = 4
Höjden = avståndet från C ner till x-axeln = 3
A = 4 · 3 / 2 = 6 areaenheter
Vinkeln vid B är trubbig, och höjden från C träffar x-axeln i punkten (7, 0), alltså tre steg utanför basen. Det gör ingenting. Höjden är fortfarande avståndet mellan basens linje och det motstående hörnet. Den sneda sidan BC är däremot inte höjden, trots att den går från basen till C.
Samma bas och samma höjd ger samma area
Flytta toppen av en triangel längs en linje som är parallell med basen. Basen ändras inte och höjden ändras inte, så arean är densamma hur sned triangeln än blir. Insikten är användbar i geometriuppgifter på provet.
En KVA-uppgift i provpass 4 på högskoleprovet hösten 2025 byggde på just detta. En rektangel delades i tre trianglar genom att sträckor drogs från två hörn till en punkt på den motstående sidan, och man skulle jämföra summan av de två yttre trianglarnas area med den mittersta. Den mittersta triangeln har samma bas och samma höjd som rektangeln och tar därför halva rektangeln. De två yttre delar på den andra halvan. De två yttre trianglarna har alltså tillsammans lika stor area som den mittersta, och det är också facit.
Andra sätt att räkna triangelns area
Liksidig och likbent triangel
I en likbent triangel går höjden mot basen rakt ner till basens mittpunkt, och Pythagoras sats ger höjden. En likbent triangel med sidorna 5, 5 och 6 har höjden √(5² − 3²) = 4 och arean 6 · 4 / 2 = 12. Fler formler finns i artikeln om likbent triangel.
En liksidig triangel med sidan s har höjden s√3 / 2, eftersom h² = s² − (s/2)² = 3s²/4. Arean blir s²√3 / 4. Med sidan 2 blir arean √3.
Två sidor och vinkeln mellan dem
Känner du två sidor a och b och vinkeln C mellan dem ger areasatsen arean som a · b · sin C / 2. Med sidorna 6 och 5 och vinkeln 30° blir arean 6 · 5 · 0,5 / 2 = 7,5, eftersom sin 30° = 0,5. Formeln är samma sak som basen gånger höjden delat med två, med a som bas och höjden skriven som b · sin C. Matteboken tar upp areasatsen i Matte 3, alltså över den nivå som provet bygger på.
Herons formel: bara sidorna
Känner du alla tre sidor men ingen höjd kan du använda Herons formel. Låt s vara halva omkretsen, s = (a + b + c) / 2. Då är
A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
Sidorna 5, 5 och 6: s = 8
A = √(8 · 3 · 3 · 2) = √144 = 12
Svaret stämmer med uträkningen via höjden ovan. Prova också sidorna 3, 4 och 5: s = 6 och A = √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6, samma som 3 · 4 / 2 för den rätvinkliga triangeln.
Med koordinater
Ligger ingen sida längs en axel kan du rita en rektangel runt triangeln och dra bort de tre hörntrianglarna. Triangeln med hörnen (1, 1), (5, 2) och (2, 5) ryms i en kvadrat från x = 1 till 5 och från y = 1 till 5, med arean 4 · 4 = 16. De tre rätvinkliga hörntrianglarna har kateterna 4 och 1, 3 och 3 samt 1 och 4, alltså areorna 2, 4,5 och 2. Triangelns area är 16 − 8,5 = 7,5. Grunderna finns i artikeln om koordinatsystem.
Vanliga fel
- Att glömma att dela med två. Svaret blir dubbelt så stort.
- Att använda en sned sida som höjd. Höjden ska vara vinkelrät mot basen. I en rätvinklig triangel är kateterna höjder, men inte hypotenusan.
- Att para ihop fel bas och höjd. Höjden mot en sida fungerar bara med just den sidan som bas.
- Att missa en höjd utanför triangeln. I trubbvinkliga trianglar ligger två av höjderna utanför.
- Att blanda enheter. Basen i meter och höjden i centimeter ger ett svar som är fel med en faktor 100.
Triangelns area på högskoleprovet
Provets matematik ligger enligt studera.nu på Matematik 1b-nivå, och du räknar utan miniräknare. Trianglar dyker upp i flera delprov. I provpass 1 hösten 2025 fanns en XYZ-uppgift där en linje tillsammans med koordinataxlarna avgränsade en triangel med arean 2 areaenheter, och KVA-uppgiften ovan kom från provpass 4. I NOG gäller det att se om informationen räcker för att få fram både en bas och den tillhörande höjden. Mer om delproven finns i guiden till KVA och guiden till XYZ.
Uppgift 1 (XYZ-stil)
Linjen y = −2x + 6 avgränsar tillsammans med x-axeln och y-axeln en triangel. Hur stor är triangelns area?
A: 6 areaenheter
B: 9 areaenheter
C: 12 areaenheter
D: 18 areaenheter
Lösning: Linjen skär y-axeln där x = 0, alltså i (0, 6). Den skär x-axeln där y = 0, alltså −2x + 6 = 0 och x = 3. Triangeln är rätvinklig med kateterna 3 och 6, och arean är 3 · 6 / 2 = 9. Svaret är B. Alternativ D får den som glömmer att dela med två.
Uppgift 2 (KVA-stil)
Kvantitet I: arean av en triangel med sidorna 5, 5 och 6
Kvantitet II: arean av en triangel med sidorna 5, 5 och 8
A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig
Lösning: Båda trianglarna är likbenta. Den första har basen 6 och höjden √(25 − 9) = 4, så arean är 6 · 4 / 2 = 12. Den andra har basen 8 och höjden √(25 − 16) = 3, så arean är 8 · 3 / 2 = 12. Svaret är C. Den som gissar att den längre basen ger större area svarar B.
Vanliga frågor
Hur räknar man ut arean av en triangel?
Multiplicera basen med höjden och dela med två, A = b · h / 2. Basen 10 cm och höjden 6 cm ger 30 cm².
Varför delar man med två när man räknar triangelns area?
För att två likadana trianglar tillsammans bildar en parallellogram med samma bas och höjd. Parallellogrammens area är bas gånger höjd, och triangeln är hälften av den.
Vad är höjden i en triangel?
Det vinkelräta avståndet från en sida, basen, till det motstående hörnet. I en trubbvinklig triangel kan höjden hamna utanför triangeln, och då mäts den mot basens förlängning.
Hur räknar man arean av en triangel utan höjd?
Med alla tre sidor kan du använda Herons formel, A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) där s är halva omkretsen. Med två sidor och vinkeln mellan dem ger areasatsen A = a · b · sin C / 2.
Hur räknar man arean av en rätvinklig triangel?
Multiplicera kateterna och dela med två. Kateterna 6 cm och 8 cm ger 24 cm². Hypotenusan behövs inte.
Nästa steg
Triangelns area sitter när du kan peka ut höjden i varje triangel, även när den ligger utanför. Träna gratis på HP-frågor och rita in höjden innan du räknar, och läs mer om Pythagoras sats för de fall där höjden måste räknas fram.
