Proportionalitet: direkt, omvänd och linjär

Direkt proportionalitet betyder att y = kx, där k är en konstant. Grafen är en rät linje genom origo. Om x fördubblas, fördubblas y. Omvänd proportionalitet betyder i stället att y = k/x, så produkten xy är konstant. En linje y = kx + m, där m är skilt från 0, är linjär men inte proportionell, eftersom den inte går genom origo.

Direkt proportionalitet och pris per kilo

I y = kx är k det fasta sambandet mellan storheterna. Den ändras inte när x ändras. Därför är kvoten y/x samma tal för varje par som hör ihop, så länge x inte är 0. Grafen skär origo: när x är 0 är y också 0. Ingen startavgift, ingen fast bit som ligger kvar när x försvinner.

Äpplen som kostar lika mycket per kilo är ett sådant samband. 3 kg kostar 45 kr. Då är k priset per kilo.

1. k = 45 / 3 = 15. Enheten är kronor per kilo, så k = 15 kr/kg.
2. För 7 kg är y = 15 · 7 = 105. Kostnaden är 105 kr.
3. Kontroll: 7/3 av 45 kr är (7 · 45) / 3 = 315 / 3 = 105. Samma svar.

Dubblar du mängden dubblar du priset. 6 kg, alltså dubbelt mot 3 kg, kostar 15 · 6 = 90 kr, och 90 är dubbelt mot 45. 7 kg är inte dubbelt mot 3 kg, så 105 kr är inte dubbelt mot 45 kr. Det ska det inte vara. Proportionaliteten säger vad som händer när x multipliceras med ett tal: y multipliceras med samma tal. Här är den faktorn 7/3, och 45 · 7/3 = 105.

Omvänd proportionalitet och delat arbete

Omvänd proportionalitet har formen y = k/x. Då är produkten x · y = k, ett konstant tal. Blir x dubbelt så stor blir y hälften så stor. Grafen är inte en rät linje, och x får inte vara 0, eftersom du inte kan dividera med 0.

Ett arbete som tar 4 personer 6 timmar är ett sådant fall, om arbetet går att dela jämnt. Produkten är antalet persontimmar.

1. 4 · 6 = 24. Arbetet är 24 persontimmar.
2. Med 8 personer är tiden 24 / 8 = 3. De tar 3 timmar.
3. Kontroll: 8 · 3 = 24. Produkten är densamma. 8 är dubbelt mot 4, och 3 är hälften av 6.

Det här förutsätter att arbetet går att dela. Alla åtta måste kunna arbeta samtidigt utan att vänta på varandra, och uppgiften måste gå att klyva i lika delar. Går det inte, till exempel om ett moment bara en person kan göra, gäller inte 3 timmar. Formeln räknar ett jämnt delat arbete. Den mäter inte köer, trängsel eller ett moment som inte går att dela.

Linjärt är inte samma sak som proportionellt

Uttrycket y = kx + m, med m skilt från 0, är en rät linje. Den har lutningen k, precis som y = kx. Skillnaden är skärningen. När x är 0 är y = m, inte 0. Grafen går alltså inte genom origo, och sambandet är inte proportionellt.

Sätt k = 2 och m = 5, så y = 2x + 5. När x = 0 är y = 5. När x = 1 är y = 7. När x = 2 är y = 9. Dubblar du x från 1 till 2 går y från 7 till 9, inte till 14. 14 vore det dubbla. En proportionell modell med samma lutning, y = 2x, hade gått från 2 till 4. Den fasta termen 5 ligger kvar och gör att dubblingen uteblir.

Priset på äpplen har ingen sådan fast term. Noll kilo kostar 0 kr, och grafen går genom origo. Därför är just det priset proportionellt, med k = 15. Lägger du till en påse som alltid kostar en fast summa, oavsett vikt, lämnar du proportionaliteten. Kvar blir en rät linje som inte skär origo.

Ett annat proportionellt samband är skala. Bildmått och verkligt mått står i ett fast förhållande, samma idé som y = kx. Förändringsfaktor, alltså hur ett värde växer med en faktor, ligger nära men är en egen räkning. Den finns i artikeln om förändringsfaktor.

Så ser du skillnaden innan du räknar

Tre frågor skiljer fallen åt. Går grafen genom origo? Är kvoten y/x konstant? Är produkten x · y konstant? Svarar du ja på de två första har du direkt proportionalitet. Svarar du ja bara på den tredje har du omvänd proportionalitet. Är sambandet en rät linje som missar origo är det linjärt och inte proportionellt.

På äpplena är kvoten 45/3 = 15 och 105/7 = 15. Samma k, alltså direkt. På arbetet är produkten 4 · 6 = 24 och 8 · 3 = 24. Samma produkt, alltså omvänt. På y = 2x + 5 är kvoten 7/1 = 7 när x = 1, men 9/2 = 4,5 när x = 2. Kvoten är inte konstant, och origo ingår inte. Läs den skillnaden innan du väljer formel. Fel familj ger ett snyggt tal med fel betydelse.

Vanliga frågor

Vad är direkt proportionalitet?

Direkt proportionalitet betyder y = kx med k konstant. Grafen går genom origo. Om x fördubblas fördubblas y. Kvoten y/x är samma tal för varje par. Priset på äpplen är ett exempel: 45 kr delat med 3 kg ger k = 15 kr/kg, och 0 kg kostar 0 kr.

Hur mycket kostar 7 kg om 3 kg kostar 45 kr?

Först räknar du priset per kilo: 45 / 3 = 15 kr/kg. Sedan multiplicerar du: 15 · 7 = 105. Sju kilo kostar 105 kr. Kontrollen (7 · 45) / 3 = 105 ger samma svar. 7 kg är inte dubbelt mot 3 kg, så priset ska inte bli dubbelt mot 45 kr.

Vad är omvänd proportionalitet?

Omvänd proportionalitet betyder y = k/x. Produkten xy är konstant. Om x fördubblas halveras y, och x får inte vara 0. Fyra personer som arbetar 6 timmar ger 4 · 6 = 24 persontimmar. Åtta personer ger 24 / 8 = 3 timmar, och 8 · 3 är fortfarande 24.

Varför är y = kx + m inte proportionell när m är skilt från 0?

När x är 0 blir y = m, inte 0. Grafen går inte genom origo. Med y = 2x + 5 är y = 7 när x = 1 och y = 9 när x = 2. Dubblar du x dubblar du inte y. Sambandet är linjärt, eftersom det är en rät linje, men det är inte proportionellt.

Gäller 3 timmar alltid när 8 personer gör jobbet?

Nej. Räkningen 24 / 8 = 3 förutsätter att arbetet går att dela jämnt och att alla kan arbeta samtidigt. Finns ett moment som inte går att dela, eller som bara en person kan göra, stämmer inte 3 timmar. Formeln håller produkten 24 persontimmar. Den beskriver inte väntan.

Nästa steg

Den samlade definitionen finns under uppslagsordet proportionalitet i matematiken.

Skriv upp om sambandet är y = kx, y = k/x eller y = kx + m innan du räknar. På äpplena ska du landa i 15 kr/kg och 105 kr. På arbetet ska produkten stanna på 24 och tiden bli 3 timmar, med villkoret att jobbet går att dela. Fler samband finns i formelsamlingen. Träna dem i ett quiz eller på XYZ-delen, där den här skillnaden ofta avgör hela uppgiften.