Faktorisering: så faktoriserar du uttryck steg för steg

Att faktorisera betyder att skriva ett tal eller ett uttryck som en produkt, alltså som faktorer som multipliceras med varandra. 12 = 3 · 4 är en faktorisering av 12, och 3x + 6 = 3(x + 2) är en faktorisering av 3x + 6. Det är motsatsen till att multiplicera ut en parentes. För uttryck finns fyra metoder du behöver: bryta ut en gemensam faktor, konjugatregeln, kvadreringsreglerna och faktorisering av andragradsuttryck. Börja alltid med den första.

Här är metoderna i den ordning du ska prova dem, med exempel på varje, primtalsfaktorisering av tal, hur du förkortar bråk med hjälp av faktorisering, felet som kostar mest, och två uppgifter i HP-stil.

Term eller faktor: det är hela skillnaden

En term är något som adderas eller subtraheras. En faktor är något som multipliceras. Uttrycket x² + 5x har två termer. Uttrycket x(x + 5) har två faktorer, x och (x + 5). De är lika stora för varje x, men bara det andra är faktoriserat.

Wikipedia definierar faktorisering som att uttrycka något som en produkt av flera faktorer, och använder x² − 4 = (x − 2)(x + 2) som ett av exemplen. Varför vill man det? För att en produkt går att arbeta med på sätt som en summa inte gör. Du kan förkorta gemensamma faktorer i ett bråk, och du kan lösa en ekvation genom att se när en faktor blir noll.

Metoderna i en tabell

1. Bryt ut en gemensam faktor

Leta efter något som finns i varje term: ett tal som alla koefficienter är delbara med, en variabel som finns i alla termer, eller båda. Matteboken ger samma råd: börja med att leta efter det som är gemensamt för alla termer, och bryt ut en faktor i taget tills det inte finns fler.

• 6x² + 9x: båda termerna är delbara med 3 och innehåller x. Bryt ut 3x: 3x(2x + 3).
• 4a²b − 10ab²: gemensamt är 2, a och b. Bryt ut 2ab: 2ab(2a − 5b).
• 17 · 23 + 17 · 77: samma sak med tal. Bryt ut 17: 17(23 + 77) = 17 · 100 = 1 700.

Kontrollen är alltid densamma: multiplicera ut igen och se att du får tillbaka det du började med. 3x · 2x = 6x² och 3x · 3 = 9x. Stämmer.

2. Faktorisera med konjugatregeln

Två termer, ett minustecken och två kvadrater: a² − b² = (a + b)(a − b). Så x² − 36 = (x + 6)(x − 6). Hela regeln, med huvudräkningsknep, finns i guiden till konjugatregeln.

Ofta döljer sig konjugatregeln bakom en gemensam faktor. 2x² − 50 ser inte ut som två kvadrater, men bryt ut 2 först: 2(x² − 25) = 2(x + 5)(x − 5). Samma sak med x³ − 4x: bryt ut x och få x(x² − 4) = x(x + 2)(x − 2). Därför ska den gemensamma faktorn alltid prövas först.

3. Faktorisera med kvadreringsreglerna

Tre termer där första och sista är kvadrater och mittentermen är två gånger produkten av deras rötter är en jämn kvadrat. x² − 14x + 49: 49 = 7² och 2 · x · 7 = 14x, så uttrycket är (x − 7)². 9x² + 12x + 4: (3x)², 2² och 2 · 3x · 2 = 12x, alltså (3x + 2)². Igen kan en gemensam faktor stå i vägen: 3x² − 12x + 12 = 3(x² − 4x + 4) = 3(x − 2)². Mer om att känna igen mönstret finns i kvadreringsreglerna.

4. Faktorisera andragradsuttryck

Ett uttryck av typen x² + bx + c som inte är en jämn kvadrat kan ofta skrivas som (x + m)(x + n). Multiplicerar du ut får du x² + (m + n)x + mn. Du letar alltså efter två tal vars produkt är c och vars summa är b.

• x² + 5x + 6: produkt 6 och summa 5 ger 2 och 3. Svaret är (x + 2)(x + 3).
• x² − x − 12: produkt −12 och summa −1 ger −4 och 3. Svaret är (x − 4)(x + 3).

Hittar du inte talen direkt kan du gå via nollställena. Om x₁ och x₂ löser x² + px + q = 0, så är x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Exempel: x² − 6x + 5 = 0 har lösningarna 1 och 5, alltså är x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). Lösningarna får du med pq-formeln, och hela metoden för andragradsekvationer har en egen guide.

Faktorisering löser ekvationer

En produkt är noll bara om minst en faktor är noll. Det kallas nollproduktmetoden. x² − 5x = 0 blir x(x − 5) = 0, och då är x = 0 eller x = 5. Den som i stället dividerar båda led med x får bara x = 5 och tappar en lösning. Faktorisera, dividera inte bort variabeln.

Primtalsfaktorisering av tal

För heltal betyder faktorisering oftast att dela upp talet i primtal. 360 = 2³ · 3² · 5. Hur du gör uppdelningen steg för steg finns i guiden till primtal. Här räcker det med vad den är bra för: att hitta gemensamma faktorer.

84 = 2² · 3 · 7
126 = 2 · 3² · 7
Gemensamt: 2 · 3 · 7 = 42
84 / 126 = (2 · 42) / (3 · 42) = 2 / 3

Ibland är den gemensamma faktorn svår att se utan uppdelning. 221 / 299 ser oförkortbart ut, men 221 = 13 · 17 och 299 = 13 · 23, så bråket är 17 / 23.

Förkorta rationella uttryck

Ett bråk med variabler förkortas på samma sätt som ett bråk med tal: faktorisera täljare och nämnare, och stryk faktorer som finns i båda.

• (x² − 9) / (x² + 3x) = (x + 3)(x − 3) / (x(x + 3)) = (x − 3) / x, för x skilt från 0 och −3.
• (4x + 8) / (x² − 4) = 4(x + 2) / ((x + 2)(x − 2)) = 4 / (x − 2), för x skilt från 2 och −2.

Felet som kostar mest: att förkorta termer

Du får bara stryka faktorer, aldrig termer. (x + 3) / 3 är inte x + 1, utan x/3 + 1. (x + 2) / x är inte 2. Bråkstrecket fungerar som en parentes runt hela täljaren och hela nämnaren, se prioriteringsreglerna. Tumregeln: står det plus eller minus någonstans i täljaren eller nämnaren, faktorisera först. Går det inte att faktorisera, går det inte att förkorta.

Faktorisering på högskoleprovet

På provet är faktorisering framför allt ett sätt att slippa räkna. Miniräknare finns inte bland de tillåtna hjälpmedlen på provdagen, så en omskrivning som gör 38 · 62 + 38 · 38 till 38 · 100 sparar både tid och felrisk. I XYZ handlar det ofta om att förenkla ett bråk till något som finns bland svarsalternativen. I KVA handlar det om att se att två uttryck är lika, eller att det ena alltid är större, utan att räkna ut dem. KVA har fyra fasta svarsalternativ: A (I är större än II), B (II är större än I), C (I är lika med II) och D (informationen är otillräcklig). Hur delproven är uppbyggda finns i guiden till XYZ.

Uppgift 1 (XYZ-stil)

x är skilt från −5. Vilket uttryck är lika med (x² − 25) / (2x + 10)?

A: (x − 5) / 2
B: x − 5
C: (x + 5) / 2
D: (x² − 5) / 2

Lösning: Täljaren är en differens av två kvadrater: (x + 5)(x − 5). Ur nämnaren bryter du ut 2: 2(x + 5). Faktorn (x + 5) finns i båda och kan förkortas. Kvar blir (x − 5) / 2. Svaret är A. Alternativ B får den som glömmer tvåan i nämnaren. Alternativ C får den som stryker fel faktor och behåller (x + 5). Att dela term för term, x² med 2x och 25 med 10, råkar ge samma svar här, men det är ett otillåtet steg som ger fel i nästan alla andra bråk.

Uppgift 2 (KVA-stil)

Kvantitet I: 38 · 62 + 38 · 38
Kvantitet II: 3 800

A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig

Lösning: Bryt ut 38: 38(62 + 38) = 38 · 100 = 3 800. Svaret är C. Den som räknar ut 38 · 62 och 38 · 38 för hand kommer till samma svar, men det tar flera gånger längre tid.

Vanliga frågor

Vad betyder faktorisera?

Att skriva ett tal eller uttryck som en produkt av faktorer. 3x + 6 faktoriseras som 3(x + 2), och talet 15 som 3 · 5.

Hur vet man vilken metod man ska använda?

Pröva alltid en gemensam faktor först. Räkna sedan termerna. Två termer med minus emellan pekar på konjugatregeln. Tre termer med kvadrater i ändarna pekar på kvadreringsreglerna. Annars letar du efter två tal med rätt produkt och summa, eller tar fram nollställena med pq-formeln.

Vad är skillnaden mellan faktorisering och primtalsfaktorisering?

Primtalsfaktorisering är faktorisering av heltal där alla faktorer är primtal, som 360 = 2³ · 3² · 5. Faktorisering i allmänhet gäller även algebraiska uttryck, som x² − 4 = (x + 2)(x − 2).

Varför får man inte förkorta termer i ett bråk?

För att bråkstrecket delar hela täljaren med hela nämnaren. Du får bara stryka något som multiplicerar allt ovanför och allt under strecket. Därför måste täljare och nämnare faktoriseras innan du förkortar.

Går alla uttryck att faktorisera?

Nej. x² + 1 går till exempel inte att faktorisera med reella tal, eftersom x² + 1 aldrig blir noll. Ett andragradsuttryck som saknar reella nollställen går inte att dela upp i reella förstagradsfaktorer.

Nästa steg

Faktorisering är en vana: se ett plustecken, leta efter en produkt. Träna gratis på HP-frågor och se hur ofta den kortaste lösningen i XYZ och KVA börjar med att bryta ut något.