Kvadreringsreglerna: första och andra regeln med exempel

Kvadreringsreglerna säger hur du kvadrerar en summa eller en differens av två termer. Första kvadreringsregeln: (a + b)² = a² + 2ab + b². Andra kvadreringsregeln: (a − b)² = a² − 2ab + b². Det enda som skiljer dem åt är tecknet framför mittentermen 2ab. Det vanligaste felet är att hoppa över mittentermen och skriva (a + b)² = a² + b², vilket blir fel så fort både a och b är skilda från noll.

Här är båda reglerna, varför mittentermen finns, en bild som gör den svår att glömma, hur du använder reglerna baklänges, huvudräkningsknep och två uppgifter i HP-stil. Den tredje regeln i samma familj, konjugatregeln, har en egen genomgång.

De tre reglerna i en tabell

Ibland skrivs de två kvadreringsreglerna som en enda: (a ± b)² = a² ± 2ab + b², där de två ±-tecknen följs åt. Wikipedia beskriver dem som regler för att utveckla kvadraten av två tals summa respektive differens. Både a och b kan vara tal, variabler eller hela uttryck som 2x eller 3b.

Varför 2ab finns där

(a + b)²
= (a + b)(a + b)
= a · a + a · b + b · a + b · b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²

Att kvadrera betyder att multiplicera parentesen med sig själv. Varje term i den första parentesen ska gånger varje term i den andra, så det blir fyra produkter. Två av dem är ab, och tillsammans blir de 2ab. Det är den termen som försvinner när man slarvar.

I andra regeln blir de två korsprodukterna −ab vardera, alltså −2ab, medan (−b) · (−b) = +b². Därför är sista termen plus i båda reglerna. Bara mittentermen byter tecken.

Kontrollera med tal

Med a = 3 och b = 4 blir (3 + 4)² = 7² = 49. Regeln ger 9 + 24 + 16 = 49. Felet a² + b² ger 9 + 16 = 25, och skillnaden, 24, är precis den glömda mittentermen 2 · 3 · 4. När du är osäker på en omskrivning, sätt in två små tal och jämför. Det tar några sekunder och avslöjar nästan alla teckenfel.

Areabilden

Rita en kvadrat med sidan a + b. Dela varje sida i en bit a och en bit b och dra linjer rakt igenom. Kvadraten delas i fyra delar: en kvadrat a · a, en kvadrat b · b och två rektanglar a · b. Summan av delarna är a² + 2ab + b², och det är hela kvadratens area, (a + b)². De två rektanglarna är 2ab. Den som bara räknar med de två små kvadraterna har tappat två hela bitar av figuren.

Andra regeln går att se i samma bild, fast baklänges. Börja med kvadraten a · a och skär bort två remsor som är a · b, längs två kanter som möts i ett hörn. Då har du skurit bort hörnrutan b · b två gånger, så den måste läggas tillbaka en gång. Kvar blir a² − 2ab + b², som är arean av en kvadrat med sidan a − b.

Sex exempel

Exempel 1: (x + 3)²

Första regeln med a = x och b = 3: x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9.

Exempel 2: (x − 5)²

Andra regeln: x² − 2 · x · 5 + 5² = x² − 10x + 25. Sista termen är plus.

Exempel 3: (2x + 3)²

Här är a = 2x, och hela a ska kvadreras: (2x)² = 4x². Mittentermen är 2 · 2x · 3 = 12x. Svaret är 4x² + 12x + 9.

Exempel 4: (3a − 2b)²

(3a)² − 2 · 3a · 2b + (2b)² = 9a² − 12ab + 4b².

Exempel 5: (x + ½)²

Mittentermen är 2 · x · ½ = x, och sista termen är (½)² = ¼. Svaret är x² + x + ¼. Bråk i parentesen är vanliga i uppgifter där något ska kvadratkompletteras.

Exempel 6: (−x − 4)²

Bryt ut minustecknet: −x − 4 = −(x + 4). Eftersom (−1)² = 1 blir uttrycket samma som (x + 4)² = x² + 8x + 16. En kvadrat är aldrig negativ, så ett svar som börjar med −x² är fel direkt.

Baklänges: känn igen en jämn kvadrat

På provet är den omvända riktningen ofta den som lönar sig: att se att ett uttryck med tre termer egentligen är en kvadrat. Matteboken nämner just faktorisering som ett skäl att lära sig reglerna utantill och att känna igen dem. Så här kontrollerar du:

1. Är första och sista termen kvadrater? I x² + 10x + 25 är x² = x · x och 25 = 5 · 5.
2. Är mittentermen två gånger produkten av rötterna? 2 · x · 5 = 10x. Ja.
3. Tecknet på mittentermen avgör regeln. Plus ger (x + 5)², minus hade gett (x − 5)².

På samma sätt är 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)², eftersom 4x² = (2x)², 9 = 3² och 2 · 2x · 3 = 12x. Men x² + 10x + 16 är ingen kvadrat: 16 = 4², men 2 · x · 4 = 8x, inte 10x. Det uttrycket går att faktorisera som (x + 2)(x + 8), men inte med kvadreringsreglerna. Samma igenkänning är grunden i kvadratkomplettering, som leder fram till lösningsformeln för andragradsekvationer.

Huvudräkning med kvadreringsreglerna

Dela talet i en jämn del och en rest, och använd regeln i stället för att ställa upp en multiplikation.

Ett specialfall är tal som slutar på 5. Enligt första regeln är (10n + 5)² = 100n² + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25. För 35² tar du alltså 3 · 4 = 12 och sätter 25 efter: 1 225. På samma sätt blir 65² = 4 225 (6 · 7 = 42) och 85² = 7 225 (8 · 9 = 72).

Fyra fel som kostar poäng

1. Att glömma mittentermen. (x + 6)² är inte x² + 36.
2. Att glömma tvåan. (x + 6)² är inte x² + 6x + 36. Rätt är x² + 12x + 36.
3. Att sätta minus på sista termen. (x − 6)² är inte x² − 12x − 36. Sista termen är en kvadrat och alltid plus: x² − 12x + 36.
4. Att glömma kvadrera koefficienten. (3x + 1)² är 9x² + 6x + 1, inte 3x² + 6x + 1.

Kvadreringsreglerna på högskoleprovet

Reglerna är ingen egen uppgiftstyp, men de kan dyka upp i XYZ och KVA, där uttryck ska förenklas eller jämföras. Två saker gör dem extra värdefulla. Miniräknare finns inte med bland de tillåtna hjälpmedlen på provdagen, så 49² räknar du i huvudet eller på kladdpapperet. Och i provhäftet från hösten 2025 är den rekommenderade tiden för KVA 10 minuter för 10 uppgifter, så en omskrivning som sparar en halv minut gör skillnad. KVA har fyra fasta svarsalternativ: A (I är större än II), B (II är större än I), C (I är lika med II) och D (informationen är otillräcklig). Upplägget finns i guiderna till XYZ och KVA.

Uppgift 1 (XYZ-stil)

x + y = 7 och xy = 10. Vad är x² + y²?

A: 29
B: 39
C: 49
D: 69

Lösning: Kvadrera summan med första regeln: (x + y)² = x² + 2xy + y². Vänsterledet är 7² = 49 och 2xy = 20. Alltså är x² + y² = 49 − 20 = 29. Svaret är A. Du behöver aldrig ta reda på x och y. (Kontroll: x = 2 och y = 5 uppfyller villkoren, och 4 + 25 = 29.) Alternativ C får den som tror att x² + y² = (x + y)², och D den som adderar 2xy i stället för att subtrahera.

Uppgift 2 (KVA-stil)

a > b > 0
Kvantitet I: (a − b)²
Kvantitet II: a² − b²

A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig

Lösning: Utveckla kvantitet I: a² − 2ab + b². Skillnaden II − I blir (a² − b²) − (a² − 2ab + b²) = 2ab − 2b² = 2b(a − b). Både b och a − b är positiva, så skillnaden är positiv. Svaret är B. Kontroll med a = 5 och b = 2: kvantitet I är 9 och kvantitet II är 21. Den som tror att (a − b)² = a² − b² väljer C.

Vanliga frågor

Vad är första kvadreringsregeln?

(a + b)² = a² + 2ab + b². Kvadraten av en summa är summan av kvadraterna plus två gånger produkten av termerna.

Vad är andra kvadreringsregeln?

(a − b)² = a² − 2ab + b². Den skiljer sig från den första bara genom minustecknet framför mittentermen. Sista termen är plus i båda.

Varför är (a + b)² inte lika med a² + b²?

För att kvadraten betyder (a + b)(a + b), och multiplikationen ger fyra termer. De två korsprodukterna ab blir tillsammans 2ab, och den termen saknas i a² + b². Med a = 3 och b = 4 är skillnaden 49 mot 25.

Hur faktoriserar man med kvadreringsreglerna?

Kontrollera att första och sista termen är kvadrater och att mittentermen är två gånger produkten av deras rötter. Då är uttrycket (rot + rot)² om mittentermen är plus och (rot − rot)² om den är minus, till exempel x² − 14x + 49 = (x − 7)².

Vad är skillnaden mellan kvadreringsreglerna och konjugatregeln?

Kvadreringsreglerna gäller när samma parentes multipliceras med sig själv och ger en mittenterm, ±2ab. Konjugatregeln gäller för (a + b)(a − b) och ger ingen mittenterm, bara a² − b².

Nästa steg

Reglerna är tre rader, men det är igenkänningen som ger poäng. Träna gratis på HP-frågor och se hur ofta en kvadrat gömmer sig i ett uttryck, och ha alla regler samlade i formelsamlingen.