Senast uppdaterad: mars 2026
Snabba fakta
- PQ-formeln löser alla andragradsekvationer på formen x² + px + q = 0
- Formeln: x = -p/2 ± roten ur ((p/2)² - q)
- Koefficienten framför x² måste vara 1 innan du använder formeln
- Diskriminanten ((p/2)² - q) avgör om du får 2, 1 eller 0 lösningar
- PQ-formeln är standardmetoden i svensk gymnasiematematik och dyker upp på högskoleprovet
Vad är PQ-formeln?
PQ-formeln är det verktyg du använder för att lösa andragradsekvationer i Sverige. Den fungerar på alla andragradsekvationer, oavsett hur komplicerade de ser ut, och ger dig ett systematiskt sätt att hitta lösningarna varje gång.
En andragradsekvation är en ekvation där x förekommer i andra graden (x²). Exempel: x² + 5x + 6 = 0. PQ-formeln löser denna typ av ekvation direkt.
Formeln ser ut så här:
x = -p/2 ± roten ur ((p/2)² - q)
Där p och q kommer från ekvationen x² + px + q = 0. Det ± (plus/minus) tecknet ger dig två lösningar: en med plus och en med minus.
Innan du börjar: Skriv om till rätt form
PQ-formeln kräver att ekvationen ser ut exakt så här: x² + px + q = 0. Det innebär:
- Koefficienten framför x² måste vara 1. Om den är 2x² + 6x + 4 = 0, dividera allt med 2 först: x² + 3x + 2 = 0
- Allt ska stå på ena sidan, 0 på andra. Om ekvationen är x² + 3x = -2, flytta: x² + 3x + 2 = 0
När ekvationen är i rätt form läser du av p och q direkt: p = talet framför x, q = konstanten.
Steg-för-steg: 3 lösta exempel
Exempel 1: x² + 5x + 6 = 0
Identifiera: p = 5, q = 6
Sätt in i formeln: x = -5/2 ± roten ur ((5/2)² - 6) = -2,5 ± roten ur (6,25 - 6) = -2,5 ± roten ur 0,25 = -2,5 ± 0,5
Två lösningar: x = -2,5 + 0,5 = -2 och x = -2,5 - 0,5 = -3
Exempel 2: x² - 4x + 4 = 0
Identifiera: p = -4, q = 4
Sätt in: x = -(-4)/2 ± roten ur ((-4/2)² - 4) = 2 ± roten ur (4 - 4) = 2 ± roten ur 0 = 2 ± 0
En lösning (dubbelrot): x = 2
Exempel 3: x² + 2x + 5 = 0
Identifiera: p = 2, q = 5
Sätt in: x = -2/2 ± roten ur ((2/2)² - 5) = -1 ± roten ur (1 - 5) = -1 ± roten ur (-4)
Diskriminanten är negativ (-4). Inga reella lösningar.
Diskriminanten: Hur många lösningar har ekvationen?
Uttrycket under rottecknet, (p/2)² - q, kallas diskriminanten. Den avgör hur många lösningar du får:
| Diskriminant |
Antal lösningar |
Vad det betyder |
| Positiv (större än 0) |
2 lösningar |
Parabeln skär x-axeln på två ställen |
| Noll |
1 lösning (dubbelrot) |
Parabeln nuddar x-axeln på ett ställe |
| Negativ (mindre än 0) |
0 lösningar |
Parabeln skär aldrig x-axeln |
Tips: Kontrollera diskriminanten först. Om den är negativ kan du direkt svara "inga reella lösningar" utan att räkna vidare. Det sparar tid, särskilt på högskoleprovets XYZ-del.
Vanliga misstag att undvika
| Misstag |
Exempel |
Rätt sätt |
| Glömmer att dividera med koefficienten |
2x² + 6x + 4 = 0 → använder p=6 |
Dividera först: x² + 3x + 2 = 0, p=3 |
| Fel tecken på p |
x² - 4x + 3 = 0 → sätter p=4 |
p = -4 (behåll minustecknet) |
| Glömmer ± (plus/minus) |
Räknar bara en lösning |
Beräkna alltid båda: x₁ med + och x₂ med - |
| Ej 0 på ena sidan |
x² + 3x = 5 → använder q=5 |
Flytta: x² + 3x - 5 = 0, q=-5 |
PQ-formeln kontra andra metoder
Det finns fler sätt att lösa andragradsekvationer, men PQ-formeln är nästan alltid det säkraste valet:
- Faktorisering: Snabbare om du ser faktorerna direkt (t.ex. x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)). Men fungerar inte alltid
- Kvadratkomplettering: Den metod PQ-formeln härleds från. Kräver fler steg
- ABC-formeln: Internationell variant som fungerar utan att dividera först. PQ-formeln är den svenska standarden
På högskoleprovet är PQ-formeln det du behöver. Den löser alla andragradsekvationer som kan dyka upp på XYZ-delen. Se vår kompletta formelsamling för fler formler du behöver.
Vanliga frågor om PQ-formeln
Vad gör jag om koefficienten framför x² inte är 1?
Dividera hela ekvationen med den koefficienten. Om du har 3x² + 12x + 9 = 0, dividera med 3: x² + 4x + 3 = 0. Nu kan du använda PQ-formeln med p=4 och q=3.
Kan diskriminanten vara negativ?
Ja, och det betyder att ekvationen saknar reella lösningar. Parabeln skär aldrig x-axeln. I gymnasiematte och på HP anger du "inga reella lösningar" och går vidare.
Hur kontrollerar jag att mitt svar stämmer?
Sätt in dina x-värden i originalekvationen. Om vänstra ledet blir 0 stämmer svaret. Exempel: om x=-2 i x² + 5x + 6: (-2)² + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. Stämmer.
Dyker PQ-formeln upp på högskoleprovet?
Ja, andragradsekvationer förekommer på XYZ-delen. Ibland behöver du lösa dem direkt, ibland kan du eliminera svarsalternativ utan att räkna klart. Att kunna PQ-formeln snabbt ger dig en fördel. Testa dig med HP-frågor.
Vad är skillnaden mellan PQ-formeln och ABC-formeln?
PQ-formeln gäller för x² + px + q = 0 (koefficienten framför x² är 1). ABC-formeln gäller för ax² + bx + c = 0 (valfri koefficient). I Sverige används PQ-formeln som standard. Båda ger samma svar.
Måste jag kunna PQ-formeln utantill?
Ja, på högskoleprovet och nationella prov får du inget formelblad. Lär dig formeln och öva tills den sitter reflexmässigt. Det tar bara 5-10 övningsuppgifter för att den ska fastna.
