Senast uppdaterad: 7 maj 2026
PQ-formeln är ditt viktigaste verktyg för att lösa andragradsekvationer. Klarar du den hanterar du XYZ-delen på högskoleprovet betydligt snabbare, eftersom andragradsekvationer dyker upp i flera olika skepnader. Den här guiden går igenom formeln, fem räkneexempel av ökande svårighet, diskriminantens roll och när du faktiskt inte behöver pq-formeln alls.
Vad är pq-formeln?
PQ-formeln är en algebraisk metod som löser alla andragradsekvationer på normalform: x² + px + q = 0. Givet värdena på p och q ger formeln dig lösningarna direkt:
x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
PQ-formeln för andragradsekvationer på normalform x² + px + q = 0
Tecknet ± betyder att du får två lösningar: en med plus och en med minus. Det stämmer med att en andragradsekvation generellt har två rötter, även om de ibland sammanfaller eller saknas i de reella talen.
Steg 1: skriv om ekvationen i normalform
PQ-formeln fungerar bara om koefficienten framför x² är 1. Har du till exempel 2x² + 6x - 4 = 0, dela alla termer med 2 först:
x² + 3x - 2 = 0
Nu kan du läsa av p och q direkt:
- p är talet framför x. Här är p = 3.
- q är konstanten utan variabel. Här är q = -2.
Tecknen följer alltid med. I ekvationen x² - 5x + 6 = 0 är p = -5 och q = 6, inte p = 5. Många missar minuset och får då fel svar redan i första steget.
5 räkneexempel: från enkel till HP-svår
Exempel 1: enkel ekvation med två heltalslösningar
Lös: x² + 6x + 8 = 0
Identifiera p och q: p = 6 och q = 8. Sätt in i formeln:
x = -6/2 ± √((6/2)² - 8)
x = -3 ± √(9 - 8)
x = -3 ± √1
x = -3 ± 1
Det ger två lösningar: x₁ = -3 + 1 = -2 och x₂ = -3 - 1 = -4.
Kontroll: Sätt in x = -2 i ursprungsekvationen: (-2)² + 6·(-2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0. Stämmer.
Exempel 2: negativa värden på p och q
Lös: x² - 4x - 5 = 0
Här är p = -4 och q = -5. Var noggrann med tecknen:
x = -(-4)/2 ± √((-4/2)² - (-5))
x = 2 ± √(4 + 5)
x = 2 ± √9
x = 2 ± 3
Lösningar: x₁ = 5 och x₂ = -1.
Exempel 3: irrationella lösningar
Lös: x² + 2x - 4 = 0
p = 2, q = -4:
x = -2/2 ± √((2/2)² - (-4))
x = -1 ± √(1 + 4)
x = -1 ± √5
Lösningarna kan inte skrivas som vanliga bråk. Svaret blir x = -1 + √5 och x = -1 - √5. På HP räcker det att lämna svaret på exakt form.
Exempel 4: ekvation utan reella lösningar
Lös: x² + 2x + 5 = 0
p = 2, q = 5:
x = -2/2 ± √((2/2)² - 5)
x = -1 ± √(1 - 5)
x = -1 ± √(-4)
Eftersom du inte kan ta kvadratroten ur ett negativt tal i de reella talen saknar ekvationen lösningar. På HP innebär det normalt att du valt fel ansats, eftersom HP-svar alltid är reella.
Exempel 5: HP-liknande problem
En rektangel har omkretsen 20 cm och arean 21 cm². Hitta sidornas längder.
Lösning: Kalla sidorna x och y. Du vet att 2x + 2y = 20, alltså x + y = 10, och xy = 21. Lös ut y = 10 - x och sätt in:
x(10 - x) = 21
10x - x² = 21
-x² + 10x - 21 = 0
Multiplicera med -1 för att få normalform:
x² - 10x + 21 = 0
p = -10, q = 21:
x = 10/2 ± √((10/2)² - 21)
x = 5 ± √(25 - 21)
x = 5 ± √4
x = 5 ± 2
Sidorna är 3 cm och 7 cm. Kontroll: omkrets 2(3+7) = 20, area 3·7 = 21. Båda stämmer.
Diskriminanten: hur många lösningar finns det?
Uttrycket under rottecknet, (p/2)² - q, kallas diskriminanten. Den avgör hur många reella lösningar ekvationen har, innan du ens räknar färdigt:
| Diskriminant | Antal lösningar | Tolkning |
|---|
| Större än 0 | Två reella lösningar | Parabeln korsar x-axeln på två ställen |
| Lika med 0 | En dubbelrot | Parabeln tangerar x-axeln |
| Mindre än 0 | Inga reella lösningar | Parabeln korsar inte x-axeln |
Snabbtricket: räkna ut diskriminanten först. Är den negativ vet du direkt att svaret inte finns i de reella talen och du slipper räkna klart. Det sparar 20-30 sekunder per uppgift på HP.
När du inte behöver pq-formeln
PQ-formeln fungerar alltid, men ibland är andra metoder snabbare. På HP där varje minut räknas är det värt att känna igen följande mönster:
Faktorisering
Om ekvationen är x² - 5x + 6 = 0 kan du försöka hitta två tal som ger 6 när de multipliceras och -5 när de adderas. Det är -2 och -3. Då kan du skriva:
(x - 2)(x - 3) = 0
Vilket ger x = 2 eller x = 3 utan en enda kvadratrot. Snabbare än pq-formeln när siffrorna är snälla.
Kvadratrotsmetoden
Saknar ekvationen en x-term, alltså p = 0, kan du isolera x² direkt. Exempel: x² - 16 = 0. Lös ut: x² = 16, x = ±4. Ingen formel behövs.
Konstantterm noll
Om q = 0, som i x² - 7x = 0, bryt ut x: x(x - 7) = 0. Lösningar: x = 0 eller x = 7.
Pq-formeln på högskoleprovets XYZ-del
På XYZ-delen har du ungefär 1-2 minuter per uppgift som riktmärke. Andragradsekvationer dyker upp i två huvudvarianter:
- Direkt: Lös 2x² + 8x - 10 = 0. Klassiskt, gör om till normalform och kör pq-formeln.
- Förklädda: Geometriproblem (rektanglar, trianglar, areor), rörelseproblem (sträcka och tid) eller talproblem ("två tal vars produkt är 24 och summa är 11"). Du måste själv ställa upp ekvationen.
Tipset: när en HP-uppgift nämner produkt och summa eller area och omkrets, leta direkt efter en andragradsekvation att ställa upp. Det sparar tid jämfört med att gissa lösningar.
Pq-formeln jämfört med ABC-formeln
I Sverige är pq-formeln standard på gymnasiet. I många andra länder används istället ABC-formeln (även kallad den kvadratiska formeln) för att lösa ax² + bx + c = 0:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Båda löser exakt samma typ av ekvationer. PQ-formeln kräver att du först delar bort koefficienten framför x², ABC-formeln gör det inbyggt. På HP är pq-formeln den vanligaste, men det gör inget om du föredrar ABC.
Sammanfattning: snabbreferens
Pq-formeln, det viktigaste
- Normalform: x² + px + q = 0 (koefficient framför x² måste vara 1)
- Formel: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
- Diskriminant större än 0: två reella lösningar
- Diskriminant lika med 0: en dubbelrot
- Diskriminant mindre än 0: inga reella lösningar
- Tecken räknas alltid med, p = -4 om termen är -4x
Träna pq-formeln med riktiga HP-frågor
Att förstå formeln är ett första steg. Att tillämpa den under tidspress, på förklädda HP-problem, är ett annat. HP-spelet har över 25 000 träningsfrågor där XYZ-uppgifter med andragradsekvationer kommer regelbundet, sorterade efter svårighet. Få direkt feedback när du missar och en AI-genererad förklaring som visar exakt var du gick fel.
Andra användbara resurser:
Vanliga frågor om pq-formeln
Vad är pq-formeln?
PQ-formeln är en formel som löser andragradsekvationer på formen x² + px + q = 0. Lösningen ges av x = -p/2 ± √((p/2)² - q). Plusminustecknet betyder att du får två lösningar: en med plus och en med minus.
När använder man pq-formeln?
När du har en andragradsekvation där koefficienten framför x² är 1, eller kan göras till 1 genom division. Den fungerar för alla sådana ekvationer, men för "snälla" ekvationer går faktorisering ofta snabbare. Saknar ekvationen p-term eller q-term använder du kvadratrotsmetoden eller utbrytning istället.
Vad är skillnaden mellan pq-formeln och ABC-formeln?
Båda löser andragradsekvationer. ABC-formeln, x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, hanterar formen ax² + bx + c = 0 direkt. PQ-formeln kräver att du först delar bort a:t så att x²-termen står ensam. PQ-formeln är vanligare i Sverige, ABC-formeln används internationellt.
Måste jag kunna pq-formeln på HP?
Ja. Andragradsekvationer dyker upp regelbundet på XYZ-delen, både direkt och förklädda i geometri- eller talproblem. Pq-formeln eller en motsvarande metod är nödvändig för att lösa dem inom tidsgränsen.
Hur räknar jag ut diskriminanten?
Diskriminanten är uttrycket under rottecknet i pq-formeln: (p/2)² - q. Är den positiv har ekvationen två lösningar, är den noll har den en dubbelrot, är den negativ saknar ekvationen reella lösningar. Räkna alltid ut diskriminanten först. Är den negativ slipper du fortsätta räkna.
