Prioriteringsregler i matte: räkneordningen steg för steg

Prioriteringsreglerna bestämmer i vilken ordning du räknar när ett uttryck innehåller flera räknesätt. Ordningen är: 1. parenteser, 2. potenser och rötter, 3. multiplikation och division, 4. addition och subtraktion. När två räknesätt på samma nivå står bredvid varandra räknar du från vänster till höger. Med de reglerna blir 2 + 3 · 4 = 14, inte 20, och 12 ÷ 3 · 2 = 8, inte 2.

Här är reglerna, varför de finns, exempel från enkla till sammansatta, fällorna med minustecken och potenser, varför ett bråkstreck fungerar som en parentes, och vad som faktiskt gäller för det virala talet 6 ÷ 2(1 + 2). Sist kommer två uppgifter i HP-stil.

Varför det behövs en räkneordning

Uttrycket 1 + 2 · 3 kan ge två svar. Börjar du med additionen blir det 3 · 3 = 9. Börjar du med multiplikationen blir det 1 + 6 = 7. Båda räkningarna är korrekta i sig, så det behövs en överenskommelse om vilken som gäller. Det är prioriteringsreglerna, som också kallas räkneordningen. Wikipedia använder just 1 + 2 · 3 som exempel och påpekar att reglerna är en konvention, i regel inget som följer av matematiken själv. Överenskommelsen är att svaret är 7.

Reglerna i en tabell

Samma ordning finns i Mattebokens genomgång av räkneordning: först parenteser, sedan potenser och rötter, sedan multiplikation och division, sist addition och subtraktion.

Multiplikation går inte före division

Minnesregeln PEMDAS (parentes, exponent, multiplikation, division, addition, subtraktion) får det att låta som att multiplikation alltid kommer före division och addition före subtraktion. Så är det inte. De står på samma nivå, och Wikipedia påpekar att minnesregeln är missvisande på just den punkten. Står de bredvid varandra tar du dem i den ordning de kommer, från vänster:

• 12 ÷ 3 · 2 = 4 · 2 = 8. Den som multiplicerar först får 12 ÷ 6 = 2.
• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Den som adderar först får 10 − 7 = 3.

Exempel från enkelt till sammansatt

Exempel 1: 20 − 8 ÷ 2

Divisionen går före subtraktionen: 8 ÷ 2 = 4, sedan 20 − 4 = 16. Fel svar: 12 ÷ 2 = 6.

Exempel 2: (2 + 3)² − 4 · 5

Parentesen först: 5². Sedan potensen: 25. Sedan multiplikationen: 4 · 5 = 20. Sist subtraktionen: 25 − 20 = 5.

Exempel 3: 40 − (3 · (2 + 4) − 6)

Innersta parentesen först: 2 + 4 = 6. Sedan den yttre: 3 · 6 − 6 = 18 − 6 = 12. Sist 40 − 12 = 28. Med flera parenteser inne i varandra börjar du alltid inifrån.

Exempel 4: 100 − 2³ · (5 − 2) + 18 ÷ 3 ÷ 3

Parentes: 5 − 2 = 3
Potens: 2³ = 8
Multiplikation och division, från vänster: 8 · 3 = 24, 18 ÷ 3 = 6, 6 ÷ 3 = 2
Addition och subtraktion, från vänster: 100 − 24 + 2 = 76 + 2 = 78

Skriv ett steg per rad på kladdpapperet när uttrycket är långt. Det tar några sekunder extra och tar bort nästan alla slarvfel.

Minustecken och potenser: −3² eller (−3)²

Det här är en av de vanligaste fällorna. En potens gäller bara det som står närmast till vänster om exponenten. Minustecknet framför räknas som ett eget steg som kommer efter potensen. Wikipedia formulerar regeln så att negativtecken prioriteras lägre än potenser.

Fällan blir skarpast när du sätter in ett negativt tal i ett uttryck. Om x = −3 och uttrycket är x², skriv (−3)² = 9. Parentesen följer med variabeln in. Om uttrycket i stället är −x² blir det −(−3)² = −9. Se upp om du kontrollerar i ett kalkylprogram: enligt Wikipedia ger Excel, Google Sheets och LibreOffice Calc värdet 9 för −3², eftersom de prioriterar minustecknet högre. Fler potensfällor finns i potensreglerna.

Bråkstreck och rottecken är osynliga parenteser

Ett horisontellt bråkstreck grupperar allt som står ovanför och allt som står under. Täljaren och nämnaren räknas var för sig innan du dividerar. Ett bråk med täljaren 6 + 4 och nämnaren 2 · 5 blir alltså (6 + 4) / (2 · 5) = 10 / 10 = 1 när det skrivs på en rad. Utan parenteserna blir 6 + 4 / 2 · 5 något helt annat: 6 + 2 · 5 = 16.

Samma sak gäller rottecknet. √(9 + 16) är √25 = 5, eftersom allt under rottecknet räknas ihop först. √9 + √16 är 3 + 4 = 7. När du skriver om ett uppställt bråk eller en rot på en rad, sätt ut parenteserna. Mer om att räkna med bråk finns i räkna med bråktal.

Det virala talet: 6 ÷ 2(1 + 2)

Uttryck av typen 6 ÷ 2(1 + 2) har spridits som internetmemes, med två läger som är säkra på 9 respektive 1. Parentesen är inte problemet, den blir 3 i båda fallen. Frågan är hur 2(3), multiplikation utan utskrivet tecken, ska prioriteras.

• Läsning 1: multiplikation utan tecken är vanlig multiplikation. Då är det 6 ÷ 2 · 3, från vänster: 3 · 3 = 9.
• Läsning 2: 2(3) hänger ihop som en enhet och räknas först. Då är det 6 ÷ 6 = 1.

Båda konventionerna används. Enligt Wikipedias artikel om order of operations tolkar en Casio fx-82MS uttrycket som 6 ÷ (2 × (1 + 2)), medan en TI-83 Plus tolkar det som (6 ÷ 2) × (1 + 2). Den svenska artikeln konstaterar att båda tolkningarna förekommer, och att sådana tvetydigheter bör undvikas. Det ärliga svaret är alltså att uttrycket är dåligt skrivet. Den som menar 9 skriver (6 ÷ 2)(1 + 2), och den som menar 1 skriver 6 ÷ (2(1 + 2)) eller ett bråk.

Prioriteringsregler på högskoleprovet

Räkneordningen är ingen egen uppgiftstyp, men den ligger under varje beräkning i XYZ, KVA och NOG. Eftersom miniräknare inte finns med bland de tillåtna hjälpmedlen på provdagen gör du allt på kladdpapperet, och då är det du själv som måste hålla ordningen. Tre ställen där det brukar gå fel:

1. Insättning av negativa tal. Sätt alltid parentes runt talet du sätter in.
2. Bråk som skrivs om på en rad. Täljare och nämnare får egna parenteser.
3. Division följd av multiplikation. 24 ÷ 4 · 2 är 12, inte 3.

KVA har fyra fasta svarsalternativ: A (I är större än II), B (II är större än I), C (I är lika med II) och D (informationen är otillräcklig). Upplägget finns i guiderna till XYZ och KVA. Söker du prioritering i en annan mening, alltså vilka uppgifter du ska ta först på provdagen, finns det i guiden om prioritering på högskoleprovet.

Uppgift 1 (XYZ-stil)

x = −2. Vad är värdet av 3 − 2x²?

A: −13
B: −5
C: 4
D: 11

Lösning: Sätt in med parentes: 3 − 2 · (−2)². Potensen först: (−2)² = 4. Sedan multiplikationen: 2 · 4 = 8. Sist 3 − 8 = −5. Svaret är B. Alternativ D får den som skriver −2² = −4, alternativ A den som kvadrerar 2x i stället för bara x, och alternativ C den som räknar 3 − 2 först.

Uppgift 2 (KVA-stil)

a = −3
Kvantitet I: −a²
Kvantitet II: (−a)²

A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig

Lösning: Kvantitet I: potensen först, a² = (−3)² = 9, och minustecknet sedan, alltså −9. Kvantitet II: −a = 3, och 3² = 9. Svaret är B. Den som tror att minustecknet i −a² ingår i kvadreringen svarar C.

Vanliga frågor

Vilka är prioriteringsreglerna i matte?

Först parenteser, sedan potenser och rötter, sedan multiplikation och division, sist addition och subtraktion. Räknesätt på samma nivå tas från vänster till höger.

Går multiplikation före division?

Nej. Multiplikation och division har samma prioritet och räknas från vänster till höger. 12 ÷ 3 · 2 är 8. Samma sak gäller addition och subtraktion.

Är −3² lika med 9 eller −9?

−9. Exponenten gäller bara trean, och minustecknet läggs på efteråt. Vill du kvadrera −3 skriver du (−3)², som är 9.

Vad är svaret på 6 ÷ 2(1 + 2)?

Det beror på konventionen. Räknas multiplikation utan tecken som vanlig multiplikation blir svaret 9. Ges den högre prioritet blir svaret 1. Olika miniräknare ger olika svar, så uttrycket bör skrivas med parenteser eller som ett bråk.

Vad är skillnaden mellan prioriteringsregler och räkneordning?

Ingen. Båda orden syftar på samma regler för i vilken ordning räknesätten utförs.

Nästa steg

Räkneordningen sitter när du slutar tänka på den. Träna gratis på HP-frågor och håll ordningen på kladdpapperet, och fortsätt med konjugatregeln och kvadreringsreglerna när grunderna sitter.