Konjugatregeln: (a + b)(a − b) förklarad med exempel

Konjugatregeln säger att (a + b)(a − b) = a² − b². Multiplicerar du en summa med differensen av samma två termer blir svaret den första termen i kvadrat minus den andra termen i kvadrat. Mittentermerna tar ut varandra. Regeln fungerar åt båda hållen: den gör en produkt till en differens av två kvadrater, och den gör en differens av två kvadrater till en produkt. På högskoleprovet är den framför allt en räknegenväg, eftersom du räknar utan miniräknare.

Här är regeln, varför den gäller, en bild att minnas den med, sex exempel i stigande svårighet, felen som kostar poäng och två egna uppgifter i HP-stil med lösningar. Regeln hör till grunderna i algebra, men du behöver inte kunna mer än parentesmultiplikation för att följa med.

Formeln

Konjugatregeln

(a + b)(a − b) = a² − b²

Åt andra hållet: a² − b² = (a + b)(a − b)

Två uttryck som a + b och a − b kallas varandras konjugat: samma två termer, men plus i det ena och minus i det andra. Matteboken formulerar det som att a + b är konjugat till a − b och tvärtom. Både a och b kan vara tal, variabler eller hela uttryck som 3x eller x². Det är det som gör regeln så användbar.

Varför regeln gäller

Multiplicera ut parenteserna term för term, precis som med vilka två parenteser som helst:

(a + b)(a − b)
= a · a − a · b + b · a − b · b
= a² − ab + ab − b²
= a² − b²

−ab och +ab är samma term med motsatt tecken, så tillsammans blir de noll. Kvar blir bara kvadraterna. Det är hela beviset, och det tar tio sekunder att göra om på kladdpapperet. Är du någon gång osäker på tecknet i svaret, multiplicera ut och se efter.

En bild att minnas den med

Tänk dig en kvadrat med sidan a. Arean är a². Klipp bort en liten kvadrat med sidan b ur ett hörn. Kvar blir en L-formad figur med arean a² − b². Dela nu L:et i två rektanglar: en bred bit som är a gånger (a − b), och en smal bit som är b gånger (a − b). Vrid den smala biten och lägg den i förlängningen av den breda. Du får en rektangel med sidorna (a + b) och (a − b). Samma area, två sätt att skriva den. Det är konjugatregeln.

Åt två håll: utveckla och faktorisera

Utveckla betyder att gå från produkt till summa. (x + 5)(x − 5) blir x² − 25 direkt, utan att du multiplicerar fyra termer och stryker två.

Faktorisera betyder att gå från summa till produkt. Ser du två kvadrater med minus emellan kan du skriva dem som en konjugatprodukt: x² − 49 = (x + 7)(x − 7). Det är den riktningen som gör regeln värdefull när du ska förkorta bråk och lösa ekvationer. Wikipedia beskriver regeln just som ett sätt att skriva om en differens till en produkt.

Kännetecknen att leta efter är tre: två termer, ett minustecken emellan, och båda termerna är kvadrater. 4x² är (2x)², 9 är 3², x⁴ är (x²)² och 0,25 är 0,5². Står det plus emellan, som i x² + 49, fungerar regeln inte. En summa av två kvadrater går inte att faktorisera med reella tal på det här sättet.

Huvudräkning: 49 · 51 på fem sekunder

Den mest underskattade användningen är ren aritmetik. Två tal som ligger lika långt från ett runt tal, ett på var sida, är en konjugatprodukt i förklädnad.

49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 50² − 1² = 2 500 − 1 = 2 499

Knepet bygger på att båda talen har samma avstånd till mitten. Mitten är medelvärdet av de två talen, och avståndet är halva skillnaden mellan dem. 37 och 43 har medelvärdet 40 och ligger 3 från det. Därför blir produkten 1 600 − 9. Knepet fungerar för alla par, men det lönar sig bara när mitten är ett tal du lätt kvadrerar. 47 · 51 blir 49² − 2², och 49² är inte lika lätt som 50². Är summan udda, som för 47 · 52, hamnar mitten på 49,5, och då räknar du hellre på annat sätt.

Sex exempel i stigande svårighet

Exempel 1: utveckla (x + 4)(x − 4)

Här är a = x och b = 4. Svaret är x² − 4² = x² − 16.

Exempel 2: utveckla (3x − 2)(3x + 2)

Ordningen på parenteserna spelar ingen roll. Här är a = 3x och b = 2, och hela a ska kvadreras: (3x)² = 9x². Svaret är 9x² − 4. Det vanliga felet är 3x² − 4, där bara x har kvadrerats.

Exempel 3: faktorisera 25y² − 1

25y² = (5y)² och 1 = 1². Alltså är 25y² − 1 = (5y + 1)(5y − 1). Kontrollera genom att multiplicera ut: 25y² − 5y + 5y − 1, och mittentermerna försvinner.

Exempel 4: räkna 67² − 33² utan miniräknare

Att kvadrera båda talen tar tid och ger stora tal att subtrahera. Faktorisera i stället: (67 + 33)(67 − 33) = 100 · 34 = 3 400.

Exempel 5: förenkla (x² − 9) / (x − 3)

Täljaren är en differens av två kvadrater: x² − 9 = (x + 3)(x − 3). Faktorn (x − 3) finns i både täljare och nämnare och kan förkortas bort. Svaret är x + 3, för alla x utom x = 3, där det ursprungliga uttrycket inte är definierat.

Exempel 6: faktorisera x⁴ − 16 fullständigt

x⁴ = (x²)² och 16 = 4². Första steget ger (x² + 4)(x² − 4). Men x² − 4 är också en differens av två kvadrater, alltså (x + 2)(x − 2). Svaret är (x² + 4)(x + 2)(x − 2). Faktorn x² + 4 är en summa och går inte att dela upp mer med reella tal. Regeln kan alltså behöva användas två gånger. Om omskrivningen x⁴ = (x²)² känns främmande finns den förklarad i potensreglerna.

Fyra fel som kostar poäng

1. Att glömma kvadrera koefficienten. (2x + 5)(2x − 5) är 4x² − 25, inte 2x² − 25.
2. Att vända på differensen. (a + b)(b − a) är b² − a², inte a² − b². Titta på vilken term som byter tecken mellan parenteserna. Det är dess kvadrat som dras ifrån.
3. Att försöka faktorisera en summa. a² + b² har ingen konjugatfaktorisering med reella tal. Ser du plus mellan kvadraterna, leta efter en gemensam faktor i stället.
4. Att blanda ihop regeln med kvadreringsreglerna. (a + b)² och (a − b)² ger en mittenterm, 2ab. Konjugatregeln ger ingen. Konjugatregeln och de två kvadreringsreglerna lärs ofta tillsammans, eftersom alla tre är specialfall av samma parentesmultiplikation.

Konjugatregeln på högskoleprovet

Regeln är ingen egen uppgiftstyp, men den gör uppgifter i de kvantitativa delproven kortare. Enligt studera.nu ligger den teoretiska svårighetsgraden för provets matematikuppgifter på Matematik 1b-nivå, så provet kräver ingen avancerad algebra. Det konjugatregeln ger dig är tid. Två saker gör den värdefull:

• Ingen miniräknare. Bland de tillåtna hjälpmedlen på provdagen finns blyertspenna, suddgummi, rak linjal, överstrykningspenna och enkla öronproppar. Miniräknare finns inte med. Produkter som 199 · 201 räknar du alltså för hand, eller med en omskrivning.
• Tidspressen. I provhäftet från hösten 2025 är den rekommenderade tiden för KVA 10 minuter för 10 uppgifter, och för XYZ 12 minuter för 12 uppgifter. En minut per uppgift räcker inte för att multiplicera ut stora tal steg för steg.

I XYZ dyker regeln upp när ett uttryck ska förenklas eller ett bråk förkortas. I KVA används den för att jämföra två storheter utan att räkna ut dem, till exempel 199 · 201 mot 200². Omskrivningen ger 200² − 1, så den första är exakt 1 mindre. KVA har fyra fasta svarsalternativ: A (I är större än II), B (II är större än I), C (I är lika med II) och D (informationen är otillräcklig). Upplägget finns i guiderna till XYZ och KVA, och fler räknegenvägar i provteknikerna för kvantitativa delen.

Uppgift 1 (XYZ-stil)

Vad är 2 026² − 2 024²?

A: 4
B: 4 050
C: 8 100
D: 16 200

Lösning: Faktorisera: (2 026 + 2 024)(2 026 − 2 024) = 4 050 · 2 = 8 100. Svaret är C. Alternativ A är fällan för den som tror att differensen av kvadraterna är kvadraten av differensen, (2 026 − 2 024)² = 4. Alternativ B får den som glömmer att multiplicera med skillnaden.

Uppgift 2 (KVA-stil)

x är ett reellt tal.
Kvantitet I: (x + 1)(x − 1)
Kvantitet II: x²

A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig

Lösning: Kvantitet I är x² − 1, alltså exakt 1 mindre än kvantitet II, vilket x det än är. Svaret är B. Utan regeln är det lätt att misstänka att något x vänder på förhållandet och välja D. Med regeln är det klart på en rad.

Vanliga frågor

Vad är konjugatregeln?

En räkneregel som säger att (a + b)(a − b) = a² − b². Produkten av en summa och motsvarande differens blir skillnaden mellan kvadraterna, eftersom mittentermerna tar ut varandra.

Vad är skillnaden mellan konjugatregeln och kvadreringsreglerna?

Konjugatregeln gäller när parenteserna har olika tecken, (a + b)(a − b), och ger ingen mittenterm. Kvadreringsreglerna gäller när samma parentes multipliceras med sig själv, (a + b)² eller (a − b)², och ger mittentermen 2ab.

Hur faktoriserar man med konjugatregeln?

Kontrollera att uttrycket har två termer, ett minustecken emellan och att båda termerna är kvadrater. Ta roten ur varje term och skriv summan gånger differensen: 9x² − 16 = (3x + 4)(3x − 4).

Går det att använda konjugatregeln på a² + b²?

Nej. Regeln kräver ett minustecken mellan kvadraterna. En summa av två kvadrater går inte att faktorisera med reella tal på det sättet.

Behöver man kunna konjugatregeln till högskoleprovet?

Den är sällan det enda sättet att lösa en uppgift, men den sparar tid, och när ett bråk ska förkortas är den ofta nyckeln. Eftersom miniräknare inte finns bland de tillåtna hjälpmedlen gör regeln stora produkter och differenser av kvadrater till huvudräkning, både i XYZ och i KVA.

Nästa steg

Regeln sitter först när du känner igen den utan att leta. Träna gratis på HP-frågor och se hur ofta en omskrivning är hela lösningen, och ha formelsamlingen öppen medan du tränar.