Primtal: vad de är, lista upp till 100 och hur du hittar dem

Primtal är matematikens byggstenar. Varje heltal större än 1 är antingen ett primtal eller en produkt av primtal, och den produkten är unik. Det låter abstrakt, men det är precis den egenskapen som gör att du kan förkorta bråk, hitta minsta gemensamma nämnare och lösa delbarhetsuppgifter på högskoleprovet utan att gissa.

Här är definitionen, listan över alla primtal upp till 100, en metod för att hitta dem själv och de uppgiftstyper där primtal faktiskt testas.

Vad är ett primtal?

Ett primtal är ett heltal större än 1 som bara har två positiva delare: 1 och talet självt. Talet 7 är ett primtal eftersom det bara går att dela jämnt med 1 och 7. Talet 8 är det inte, eftersom 8 = 2 · 4.

Tal som har fler delare än två kallas sammansatta tal. Talet 1 är varken primtal eller sammansatt: det har bara en delare (sig självt), och definitionen kräver två.

Tre saker som förvånar många första gången:

• 2 är det enda jämna primtalet. Alla andra jämna tal är delbara med 2 och har därför minst tre delare.
• Det finns oändligt många primtal. Euklides bevisade det för över 2 000 år sedan: om du multiplicerar alla primtal du känner till och lägger till 1, får du ett tal som inget av dem delar, så det måste finnas ett primtal till.
• Det finns ingen enkel formel som spottar ur sig nästa primtal. Därför måste man testa, och det är där sållet nedan kommer in.

Alla primtal upp till 100

Det finns 25 primtal under 100. Kan du de här utantill sparar du tid på varje delbarhetsuppgift:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Lägg märke till hur de glesnar: tio primtal mellan 1 och 30, men bara fyra mellan 70 och 100. Det mönstret fortsätter uppåt. Mellan 1 och 1 000 finns 168 primtal, och hur tätt primtalen ligger i genomsnitt beskrivs av primtalssatsen, som Wikipedias artikel om primtal går igenom för den nyfikne.

Eratosthenes såll: så hittar du primtal själv

Den grekiske matematikern Eratosthenes hittade på en metod som fortfarande är den enklaste för att lista primtal upp till en gräns. Så här gör du för talen upp till 100:

1. Skriv upp alla tal från 2 till 100.
2. Ringa in 2 och stryk alla multiplar av 2 (4, 6, 8 ...).
3. Gå till nästa ostrukna tal, 3. Ringa in det och stryk alla multiplar av 3 (6, 9, 12 ...).
4. Nästa ostrukna tal är 5. Ringa in, stryk multiplarna.
5. Nästa är 7. Ringa in, stryk multiplarna.
6. Stanna. Allt som är kvar är primtal.

Varför kan du stanna vid 7? Därför att 7 · 7 = 49 och 11 · 11 = 121, som är större än 100. Ett sammansatt tal under 100 måste ha minst en faktor som är högst 10, och alla sådana faktorer har du redan strukit. Samma regel gäller när du testar ett enskilt tal: du behöver bara pröva primtal upp till roten ur talet.

Är 91 ett primtal? Så testar du snabbt

Roten ur 91 är knappt 10, så du behöver bara pröva 2, 3, 5 och 7.

• 2: nej, 91 är udda.
• 3: siffersumman är 9 + 1 = 10, som inte är delbar med 3. Nej.
• 5: slutar inte på 0 eller 5. Nej.
• 7: 7 · 13 = 91. Ja.

91 är alltså sammansatt. Det är ett av de klassiska "ser ut som ett primtal"-talen, tillsammans med 51 (3 · 17), 57 (3 · 19) och 87 (3 · 29). Just de här dyker gärna upp som svarsalternativ.

Delbarhetsreglerna du behöver

• Delbart med 2: talet är jämnt.
• Delbart med 3: siffersumman är delbar med 3.
• Delbart med 5: talet slutar på 0 eller 5.
• Delbart med 9: siffersumman är delbar med 9.
• Delbart med 11: växelvis summa av siffrorna (första minus andra plus tredje ...) är 0 eller delbar med 11.

För 7 finns ingen lika enkel regel, så där får du dividera. Fler räkneregler finns samlade i vår formelsamling för högskoleprovet.

Primfaktorisering: dela upp tal i primtal

Varje heltal större än 1 kan skrivas som en produkt av primtal på exakt ett sätt (om man bortser från ordningen). Det kallas aritmetikens fundamentalsats och är anledningen till att primtal är så användbara.

Metoden är att dela med det minsta primtalet som går, om och om igen:

360 = 2 · 180 = 2 · 2 · 90 = 2 · 2 · 2 · 45 = 2 · 2 · 2 · 3 · 15 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
Alltså: 360 = 2³ · 3² · 5

Med faktoriseringen i handen blir två vanliga uppgifter nästan mekaniska:

• Största gemensamma delare (SGD): ta de primtal som finns i båda talen, med den lägsta exponenten. För 360 = 2³ · 3² · 5 och 84 = 2² · 3 · 7 blir SGD = 2² · 3 = 12.
• Minsta gemensamma multipel (MGM): ta alla primtal som finns i något av talen, med den högsta exponenten. För 360 och 84 blir MGM = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2 520.

Antalet delare får du också gratis: lägg 1 till varje exponent och multiplicera. 360 har (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 delare.

Primtal på högskoleprovet

Primtal är ingen egen uppgiftstyp, men de gömmer sig i tre av de kvantitativa delproven:

• XYZ: "Hur många delare har 84?" eller "Vilket av talen är ett primtal?" Här är det listan upp till 100 och rot-regeln som avgör tempot.
• KVA: jämförelser som "kvantitet I: antalet primtal mellan 20 och 40, kvantitet II: 5". Räkna: 23, 29, 31, 37 ger fyra, så kvantitet II är störst.
• NOG: påståenden av typen "x är ett primtal större än 2" ger dig direkt att x är udda, vilket ofta är precis den informationen uppgiften kräver.

Läs mer om hur de kvantitativa delproven är upplagda, eller gå direkt till matteövningar för högskoleprovet.

Vanliga frågor

Är 1 ett primtal?

Nej. Ett primtal ska ha exakt två delare, och 1 har bara en. Skulle 1 räknas som primtal skulle primfaktoriseringen inte längre vara unik (12 = 2² · 3 = 1 · 2² · 3 = 1² · 2² · 3 och så vidare), och hela poängen med primtal försvinner.

Är 2 ett primtal?

Ja, och det är det enda jämna. Det delas bara av 1 och 2. Alla andra jämna tal är delbara med 2 och har därför minst tre delare.

Hur många primtal finns det under 100?

25 stycken: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 och 97.

Hur vet man om ett tal är ett primtal?

Pröva att dela med alla primtal upp till roten ur talet. Går ingen division jämnt är talet ett primtal. För 97 räcker det att testa 2, 3, 5 och 7, eftersom 11 · 11 = 121 är större än 97.

Vilket är det största kända primtalet?

Det ändras med jämna mellanrum när datorer hittar nya. De största kända primtalen är så kallade Mersenneprimtal med tiotals miljoner siffror, och jakten på nästa drivs av det frivilliga projektet GIMPS. På högskoleprovet behöver du aldrig något större än några hundra.

Träna på riktigt

Delbarhet och primtal är ren tidsbesparing på provet: den som kan listan och rot-regeln löser uppgiften på tjugo sekunder, den som inte kan den testar sig fram i två minuter. Träna gratis på HP-frågor och se hur snabbt reglerna sätter sig.