En andragradsekvation är en ekvation där den högsta exponenten på x är 2. Standardformen skrivs ax² + bx + c = 0. Den här typen av ekvation dyker upp i allt från matte 1 till högskoleprovets XYZ-del, och det finns flera metoder att lösa dem. Här går vi igenom alla tre, med fokus på den viktigaste: PQ-formeln.
Vad är en andragradsekvation?
En andragradsekvation innehåller en x²-term och kan ha noll, en eller två lösningar. Några exempel:
- x² - 5x + 6 = 0 (har två lösningar: x = 2 och x = 3)
- x² - 4x + 4 = 0 (har en lösning: x = 2)
- x² + 1 = 0 (har inga reella lösningar)
Antalet lösningar beror på diskriminanten, som vi kommer till längre ner. Först: metoderna för att lösa ekvationerna.
Metod 1: PQ-formeln (viktigast för HP)
PQ-formeln är den metod du bör kunna utan och innan. Den fungerar på alla andragradsekvationer som kan skrivas i formen x² + px + q = 0 (alltså när koefficienten framför x² är 1).
x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
Om koefficienten framför x² inte är 1, dividerar du hela ekvationen med den koefficienten först.
Räkneexempel 1: grundläggande PQ-formeln
Lös x² - 6x + 8 = 0
- Identifiera: p = -6, q = 8
- x = -(-6)/2 ± √((-6/2)² - 8)
- x = 3 ± √(9 - 8)
- x = 3 ± √1
- x = 3 ± 1
- x = 4 eller x = 2
Räkneexempel 2: dividera bort koefficienten
Lös 2x² + 10x + 12 = 0
- Dividera med 2: x² + 5x + 6 = 0
- p = 5, q = 6
- x = -5/2 ± √((5/2)² - 6)
- x = -2,5 ± √(6,25 - 6)
- x = -2,5 ± √0,25
- x = -2,5 ± 0,5
- x = -2 eller x = -3
Vill du ha fler exempel och djupare förklaring av PQ-formeln? Läs vår kompletta guide till PQ-formeln.
Metod 2: faktorisering
Om du snabbt kan se vilka tal som multipliceras till c och adderas till b, är faktorisering snabbast. Det handlar om att skriva om ekvationen som en produkt av två parenteser.
Räkneexempel 3: faktorisering
Lös x² - 5x + 6 = 0
- Hitta två tal som multipliceras till 6 och adderas till -5.
- Talen -2 och -3 fungerar: (-2) · (-3) = 6 och (-2) + (-3) = -5
- Skriv om: (x - 2)(x - 3) = 0
- En produkt är noll om minst en faktor är noll:
- x = 2 eller x = 3
Faktorisering är snabbt men fungerar bara när talen går jämnt ut. På högskoleprovet, där du inte har miniräknare, kan det spara tid vid enkla ekvationer.
Metod 3: kvadratkomplettering
Kvadratkomplettering innebär att du skriver om ekvationen så att vänsterledet blir en perfekt kvadrat. Det är metoden som PQ-formeln bygger på.
Räkneexempel 4: kvadratkomplettering
Lös x² + 4x - 5 = 0
- Flytta konstanten: x² + 4x = 5
- Halvera koefficienten framför x: 4/2 = 2
- Kvadrera och addera på båda sidor: x² + 4x + 4 = 5 + 4
- Skriv som kvadrat: (x + 2)² = 9
- Dra roten: x + 2 = ±3
- x = 1 eller x = -5
På högskoleprovet behöver du sällan kvadratkomplettera, eftersom PQ-formeln gör samma sak snabbare. Men det är bra att förstå metoden, särskilt om du vill veta varför PQ-formeln fungerar.
Diskriminanten: hur många lösningar har ekvationen?
Uttrycket under rottecknet i PQ-formeln kallas diskriminanten: (p/2)² - q. Den berättar direkt hur många lösningar ekvationen har:
- Diskriminanten > 0: Två lösningar (roten ger ett positivt tal)
- Diskriminanten = 0: En lösning (roten blir 0, så ± försvinner)
- Diskriminanten < 0: Inga reella lösningar (kan inte dra roten ur ett negativt tal)
Exempel: x² + 2x + 5 = 0 → diskriminanten = (2/2)² - 5 = 1 - 5 = -4. Negativt, alltså inga lösningar.
På HP kan du ibland avgöra svaret enbart genom att kontrollera diskriminanten, utan att behöva räkna ut de faktiska lösningarna.
Andragradsekvationer på högskoleprovet
Andragradsekvationer förekommer regelbundet på XYZ-delen. Typiskt ser uppgifterna ut så här:
- En ren ekvation att lösa (oftast med PQ-formeln)
- En geometriuppgift som leder till en andragradsekvation (area, sidor)
- En fråga om hur många lösningar ekvationen har (diskriminanten)
HP-typiskt problem
En rektangulär trädgård har arean 40 m². Den ena sidan är 3 meter längre än den andra. Hur långa är sidorna?
- Kalla den korta sidan x. Den långa sidan är x + 3.
- Area: x(x + 3) = 40
- x² + 3x = 40
- x² + 3x - 40 = 0
- PQ-formeln: p = 3, q = -40
- x = -3/2 ± √((3/2)² - (-40))
- x = -1,5 ± √(2,25 + 40)
- x = -1,5 ± √42,25
- x = -1,5 ± 6,5
- x = 5 (den negativa lösningen x = -8 ger ingen mening för en sida)
- Sidorna är 5 m och 8 m
Den här typen av uppgift kräver att du kan översätta text till en ekvation och sedan lösa den. Öva andragradsekvationer i HP-spelet för att bli snabb under tidspress.
Sammanfattning: alla formler
Formelruta: andragradsekvationer
- Standardform: ax² + bx + c = 0
- PQ-form: x² + px + q = 0 (dividera med a om a ≠ 1)
- PQ-formeln: x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
- Diskriminanten: D = (p/2)² - q
- D > 0: två lösningar | D = 0: en lösning | D < 0: inga lösningar
- Faktorisering: x² + px + q = (x - x₁)(x - x₂) där x₁ + x₂ = -p och x₁ · x₂ = q
Se även: räta linjens ekvation för linjära samband, och HP-formelsamlingen för en komplett överblick av formler du behöver kunna.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan PQ-formeln och ABC-formeln?
Båda löser andragradsekvationer. ABC-formeln (x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a) fungerar direkt på formen ax² + bx + c = 0. PQ-formeln kräver att du först dividerar bort koefficienten framför x² så att den blir 1. Resultatet blir detsamma. I Sverige används PQ-formeln i de flesta kurser och på högskoleprovet.
Hur vet jag om ekvationen har lösningar?
Beräkna diskriminanten: (p/2)² - q. Om den är positiv har du två lösningar. Om den är noll har du en. Om den är negativ finns inga reella lösningar. På HP kan du ibland svara på frågan utan att lösa hela ekvationen, bara genom att kolla diskriminanten.
Måste jag kunna kvadratkomplettering på HP?
Nej, det räcker att kunna PQ-formeln. Kvadratkomplettering är bakgrunden till varför PQ-formeln fungerar, men på provet använder du formeln direkt. Lär dig PQ-formeln utantill och öva på att använda den snabbt.
Kan en andragradsekvation ha fler än två lösningar?
Nej, en andragradsekvation (ax² + bx + c = 0 där a ≠ 0) har som mest två lösningar. Det beror på att en parabel (grafen av andragradsfunktionen) kan skära x-axeln i högst två punkter.
