Klot volym: formeln 4πr³/3, area och halvklot

Kort svar: Volymen av ett klot är V = 4πr³/3, där r är klotets radie. Arean av klotets yta är A = 4πr². Ett klot med radien 3 cm har volymen 36π cm³, ungefär 113,1 cm³. Får du diametern i stället för radien delar du den med 2 innan du räknar, annars blir volymen åtta gånger för stor.

Formeln och vad bokstäverna betyder

Ett klot är den runda kroppen, som en boll. Ytan som omsluter klotet kallas sfär. Alla punkter på sfären ligger lika långt från klotets mittpunkt, och det avståndet är radien r. Diametern d är sträckan rakt igenom klotet, genom mittpunkten, så d = 2r.

Två formler räcker för klotet. Båda står på Skolverkets formelblad för nationella prov i matematik, men på högskoleprovet får du inget formelblad, så dem behöver du kunna utantill:

• Volym: V = 4πr³/3, alltså 4 · π · r · r · r delat med 3.
• Area (sfärens yta): A = 4πr², alltså 4 · π · r · r.

Lägg märke till att klotet bara behöver ett mått. Ett rätblock kräver tre kanter, en cylinder kräver radie och höjd, men klotet bestäms helt av radien. Volymen har exponenten 3 och enheten kubik, arean har exponenten 2 och enheten kvadrat.

Exempel 1: radien 3 cm

1. Radien i kubik: 3³ = 3 · 3 · 3 = 27.
2. Gånger 4: 4 · 27 = 108.
3. Delat med 3: 108 / 3 = 36.
4. Volymen är 36π cm³. Med π ≈ 3,14159 blir det ungefär 113,1 cm³, avrundat till en decimal.

Arean räknas på samma radie: 3² = 9, och 4 · 9 = 36. Arean är 36π cm², också ungefär 113,1 cm². Siffrorna blir lika bara för att radien är just 3. Sätter du 4πr³/3 lika med 4πr² och förenklar får du r/3 = 1, alltså r = 3. Vid alla andra radier skiljer sig talen åt, och enheterna är alltid olika: cm³ mot cm².

Exempel 2: diametern 10 cm, fällan

En boll har diametern 10 cm. Radien är 10 / 2 = 5 cm.

1. 5³ = 125.
2. 4 · 125 = 500.
3. V = 500π/3 cm³ ≈ 523,6 cm³, avrundat till en decimal.
4. 1 000 cm³ är 1 liter, så bollen rymmer ungefär 0,52 liter.

Sätter du in 10 som radie får du 4π · 1 000/3 ≈ 4 188,8 cm³. Det är exakt 8 gånger för mycket, eftersom radien blev dubbelt så stor och 2³ = 8. Förväxlingen är lätt att göra när uppgiften bara nämner ett mått. Leta efter ordet diameter i uppgiften och halvera det först.

Exempel 3: halvklot

Ett halvklot har halva volymen av ett helt klot med samma radie. Ta radien 6 cm.

1. Helt klot: 6³ = 216, 4 · 216 = 864, 864 / 3 = 288. V = 288π cm³.
2. Halvklot: 288π / 2 = 144π cm³ ≈ 452,4 cm³, avrundat till en decimal.

Arean kräver mer eftertanke. Den buktiga delen är halva sfären: 4πr²/2 = 2πr² = 2π · 36 = 72π cm². Ett massivt halvklot har dessutom en platt cirkelyta där det är avskuret, med arean πr² = 36π cm². Totalt blir det 72π + 36π = 108π cm² ≈ 339,3 cm². Är halvklotet en skål utan lock räknar du bara den buktiga delen, 72π cm² ≈ 226,2 cm². Läs om bottenytan ska vara med, precis som med locket på ett rätblock. Cirkelns area går igenom i cirkelns area.

Baklänges: från volym till radie

Ibland är volymen given och radien efterfrågad. Säg att ett klot har volymen 288π cm³.

1. Skriv formeln: 4πr³/3 = 288π.
2. Dela båda leden med π: 4r³/3 = 288.
3. Multiplicera med 3 och dela med 4: r³ = 288 · 3 / 4 = 216.
4. Vilket tal gånger sig självt tre gånger blir 216? 6 · 6 · 6 = 216, så r = 6 cm.

Kuberna 1, 8, 27, 64, 125 och 216 (för 1 till 6) är värda att kunna utantill. Då går sista steget på sekunder.

Dubbel radie ger åtta gånger volymen

Volymskalan är längdskalan i kubik, och areaskalan är längdskalan i kvadrat. Dubblar du radien blir volymen 2³ = 8 gånger större och arean 2² = 4 gånger större. Tredubblar du radien blir volymen 27 gånger större.

Här är en jämförelse i samma stil som KVA, som vi har konstruerat själva:

• Kvantitet I: volymen av ett klot med radien 2.
• Kvantitet II: den sammanlagda volymen av åtta klot med radien 1.

Kvantitet I är 4π · 8/3 = 32π/3. Ett litet klot är 4π/3, och åtta av dem blir 32π/3. Kvantiteterna är lika stora. Frågar du i stället efter arean blir svaret ett annat: det stora klotet har 4π · 4 = 16π, de åtta små har 8 · 4π = 32π. Samma volym, men de små kloten har dubbelt så stor yta. Byt alltså inte ut volym mot area i huvudet bara för att uppställningen ser likadan ut.

Klotet, cylindern och konen

Ett klot med radien r passar precis i en cylinder med radien r och höjden 2r. Cylinderns volym är πr² · 2r = 2πr³. Klotets volym 4πr³/3 är två tredjedelar av det. Med r = 3 rymmer cylindern 54π cm³ och klotet 36π cm³. Cylinderns formel finns i cylinderns volym.

Jämför också ett halvklot med en kon som har samma radie och höjden r. Konens volym är πr²h/3, och med h = r blir det πr³/3. Halvklotet är 2πr³/3, alltså dubbelt så stort. Med r = 3 är konen 9π cm³ och halvklotet 18π cm³.

Decimalerna i tabellen är avrundade till en decimal. Går det att svara med π kvar, som 36π, slipper du avrundningen helt.

Vanliga frågor

Vad är formeln för ett klots volym?

V = 4πr³/3, där r är radien. Räkna r³ först, multiplicera med 4 och dela med 3. Svaret blir ett tal gånger π, till exempel 36π cm³ när radien är 3 cm.

Hur räknar jag volymen när jag bara har diametern?

Dela diametern med 2 för att få radien och använd sedan formeln. En diameter på 10 cm ger radien 5 cm och volymen 500π/3 cm³, ungefär 523,6 cm³. Räknar du med 10 som radie blir svaret åtta gånger för stort.

Vad är skillnaden mellan klot och sfär?

Klotet är hela den runda kroppen, med allt innehåll. Sfären är bara ytan runt omkring. Därför talar man om klotets volym och sfärens area, men även Skolverkets formelblad skriver arean 4πr² under rubriken klot, så båda uttrycken används.

Hur stor är volymen av ett halvklot?

Halva klotets volym: 4πr³/3 delat med 2, alltså 2πr³/3. Med radien 6 cm blir det 144π cm³, ungefär 452,4 cm³.

Vad händer med volymen om radien fördubblas?

Volymen blir 2³ = 8 gånger större, eftersom radien står i kubik. Arean blir 2² = 4 gånger större. Ett klot med radien 2 har alltså samma volym som åtta klot med radien 1.

Nästa steg

Formlerna i den här artikeln står på Skolverkets formelblad för matematik 2, och Mattebokens avsnitt om klot och sfärer har fler räknade exempel. Fler kroppar samlade på ett ställe finns i formelsamlingen.

Räkna exemplen ovan själv en gång till, utan att titta: radien 3, diametern 10 och halvklotet med radien 6. Sedan kan du testa dig på blandade uppgifter i ett XYZ-quiz eller läsa mer om delprovet på KVA-sidan.