Ränta på ränta är den tillväxt där vinsten från förra perioden själv börjar ge avkastning. Sätter du in 10 000 kr till 5 procent i tre år får du inte 1 500 kr extra. Du får mer, eftersom andra årets ränta räknas på både insatsen och första årets ränta, och tredje årets ränta på alltihop. Skillnaden ser liten ut på tre år och stor på tjugo. På högskoleprovet är det precis den skillnaden uppgiften vill att du ska räkna, inte gissa.
Här är formeln, två räkneexempel du kan göra för hand, skillnaden mot enkel ränta och de uppgiftstyper där det dyker upp i XYZ och KVA.
Formeln
Slutvärdet efter n hela perioder, med samma räntesats varje period och utan insättningar eller uttag däremellan, är
A = G · (1 + r)n
G är startbeloppet, r är räntesatsen som decimal (5 procent är 0,05), n är antalet perioder. (1 + r) kallas förändringsfaktorn. Tre procent upp är faktorn 1,03. Tre procent ner är 0,97. Samma idé som i vanlig procenträkning, bara upprepad.
Formeln förutsätter att räntan läggs till kapitalet i slutet av varje period och att du inte rör pengarna. Lägger du in extra varje år, eller tar ut, räcker inte en enda potens. Då får du räkna år för år, eller använda en geometrisk serie. På högskoleprovet är det nästan alltid den rena formen ovan.
En bredare genomgång av samma idé, inklusive när räntan delas upp på flera tillfällen per år, finns i Wikipedias artikel om sammansatt ränta. På provet behöver du sällan mer än årsränta och ett litet n.
Ett exempel i tre år
Du sätter in 10 000 kr. Årsräntan är 5 procent, n = 3, inga extra insättningar.
- År 1: 10 000 · 1,05 = 10 500
- År 2: 10 500 · 1,05 = 11 025
- År 3: 11 025 · 1,05 = 11 576,25
Samma sak i ett steg: 10 000 · 1,05³ = 10 000 · 1,157625 = 11 576,25 kr. Du har tjänat 1 576,25 kr. Hade räntan bara räknats på de ursprungliga 10 000 varje år, enkel ränta, hade du fått 3 · 500 = 1 500 kr och slutat på 11 500 kr. Mellanskillnaden 76,25 kr är ränta på ränta. Den kommer från att år 2 och 3 också räknar ränta på de 500 som redan lagts till.
Det är den här skillnaden KVA gillar. Kvantitet I: slutvärdet med ränta på ränta. Kvantitet II: slutvärdet med enkel ränta. För n = 1 är de lika. För n ≥ 2 är ränta på ränta alltid större när r är positiv.
Ett exempel där procentenheter lurar
Ett sparande växer från 4 procent till 6 procent i årsränta. Det är en höjning med 2 procentenheter, inte med 2 procent. Relativt är 6/4 = 1,5, alltså 50 procent högre ränta. Blanda ihop de två och du räknar fel faktor. Skillnaden mellan procent och procentenheter tar vi i procentenheter.
Själva slutvärdet vid 6 procent i tre år på samma 10 000 kr: 10 000 · 1,06³ = 10 000 · 1,191016 = 11 910,16 kr. Skillnaden mot 5 procent i tre år är ungefär 334 kr, inte 300. Återigen: den extra procentenheten räknas på ett växande belopp, inte bara på starten.
Enkel ränta mot ränta på ränta
| Modell |
Formel |
10 000 kr, 5 %, 3 år |
| Enkel ränta | A = G · (1 + n · r) | 11 500 kr |
| Ränta på ränta, årsvis | A = G · (1 + r)n | 11 576,25 kr |
| Skillnad | ränta på redan intjänad ränta | 76,25 kr |
Enkel ränta lägger samma kronpåslag varje år. Ränta på ränta lägger samma procent varje år, vilket ger ett växande kronpåslag. Ju fler år, desto mer särar de sig. På 20 år med 5 procent blir enkel ränta 10 000 · (1 + 20 · 0,05) = 20 000 kr. Ränta på ränta blir 10 000 · 1,0520 ≈ 26 533 kr. Det är inte en avrundning du kan skippa. Det är hela poängen med uppgiften.
Månadsränta är samma formel med fler perioder: r/12 och n · 12, om räntan fördelas jämnt. På HP räcker det att veta riktningen: fler tillfällen per år ger något högre slutvärde vid samma nominella årsränta, eftersom räntan börjar förränta sig tidigare. Du behöver sällan räkna ut det exakt under tidspress.
Så räknar du (1 + r)n för hand
Miniräknare är inte tillåten. För små n räknar du ut potensen stegvis, som i treårsexemplet. För 1,05²: 1,05 · 1,05 = 1,1025. För 1,05³: 1,1025 · 1,05. 1,1025 · 1 = 1,1025 och 1,1025 · 0,05 = 0,055125, summa 1,157625.
Några faktorer värda att kunna:
- 1,10² = 1,21. 1,10³ = 1,331.
- 1,05² = 1,1025. 1,02² = 1,0404.
- 0,90² = 0,81. 0,90³ = 0,729. Minskning med ränta på ränta går lika snabbt nedåt.
Sitter de, tar en XYZ-uppgift tjugo sekunder. Sitter de inte, sitter du fast i lång multiplikation medan klockan går. Fler procentregler ligger i hur man räknar procent och i formelsamlingen.
På högskoleprovet
Ränta på ränta är ingen egen delprovsetikett. Den gömmer sig i tre former:
- XYZ. "Hur mycket är beloppet efter tre år?" eller "Vilken faktor motsvarar 5 procent tre år i rad?" Här är 1,05³ svaret, inte 1,15.
- KVA. Jämförelser mellan enkel ränta och ränta på ränta, eller mellan två olika n. För positiv ränta och n > 1 vinner alltid den sammansatta sidan.
- DTK. En tabell över ett sparkapital år för år. Om tillväxten ökar i kronor men procenten är konstant, är det ränta på ränta du tittar på. Om kronpåslaget är lika varje år är det enkel ränta.
Fällan är att behandla tre år à 5 procent som 15 procent på startbeloppet. Det är enkel ränta. Uppgiften har nästan alltid ett svarsalternativ som är precis det felet. Stryk det först, räkna sedan faktorn.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan ränta på ränta och enkel ränta?
Enkel ränta räknar samma påslag på startbeloppet varje period. Ränta på ränta räknar procenten på det nya beloppet, så redan intjänad ränta börjar själv ge ränta. För mer än en period och positiv ränta blir ränta på ränta alltid högre.
Vilken formel är ränta på ränta?
A = G · (1 + r)n, där G är startbeloppet, r räntesatsen som decimal och n antalet perioder. 5 procent i tre år är alltså G · 1,05³.
Är ränta på ränta samma sak som procentenheter?
Nej. Procentenheter mäter skillnaden mellan två procenttal. Ränta på ränta mäter hur ett belopp växer när samma procent upprepas. Du behöver båda, men de svarar på olika frågor.
Hur räknar man ränta på ränta utan miniräknare?
Räkna ut (1 + r)n stegvis för små n. 1,05² = 1,1025, sedan multiplicera med 1,05 igen. För n = 1 är ränta på ränta och enkel ränta samma sak, så då finns inget extra att räkna.
Testas ränta på ränta på högskoleprovet?
Ja, som procent- och tillväxtuppgifter i XYZ, som jämförelser i KVA och som tabeller i DTK. Du får ingen miniräknare. Därför vinner den som kan faktorerna för 2 och 3 år utantill.
Träna på riktigt
Tre år à 5 procent är 15,76 procent, inte 15. Den skillnaden är hela poängen, och den sitter bara om du räknat den några gånger för hand. Träna gratis på HP-frågor och se om du tar faktorn eller 15-procentsfällan.
