En olikhet säger inte att två saker är lika. Den säger att den ena är mindre, större, högst lika eller minst lika. Det ser ut som en ekvation med ett annat tecken, och det är nästan sant: du får göra samma saker på båda led, med ett enda undantag som fäller fler än allt annat. Multiplicerar eller dividerar du med ett negativt tal måste tecknet vändas.
Här är tecknen, metoden, undantaget, tallinjen, sammansatta olikheter och de två ställen på högskoleprovet där det här faktiskt dyker upp: XYZ och KVA. Ekvationer med likhetstecken tar vi i ekvationssystem och i algebra. Den här sidan är bara olikheterna.
De fyra tecknen
| Tecken |
Betyder |
På tallinjen |
| < | mindre än | öppen cirkel, värdet ingår inte |
| > | större än | öppen cirkel, värdet ingår inte |
| ≤ | mindre än eller lika med | fylld cirkel, värdet ingår |
| ≥ | större än eller lika med | fylld cirkel, värdet ingår |
Lästips: den öppna sidan av tecknet vänds mot det större talet. 3 < 7 är sant. 3 > 7 är det inte. ≤ och ≥ tar med likheten, vilket spelar roll både när du testar ett gränsvärde och när du ritar på tallinjen.
Samma metod som ekvationer, med ett undantag
Målet är att isolera x, precis som i en ekvation. Du får addera och subtrahera samma tal på båda led. Du får multiplicera och dividera båda led med samma positiva tal. Tecknet behåller då sin riktning. Bakgrunden, och fler varianter, finns i Wikipedias artikel om olikheter.
Undantaget: multiplicerar eller dividerar du båda led med ett negativt tal vänds tecknet. < blir >, ≤ blir ≥, och tvärtom. Glömmer du vändningen får du spegelvänd mängd, och varje svarsalternativ som ser "rimligt" ut är fel åt precis andra hållet.
Varför? Multiplikation med negativt tal speglar tallinjen kring noll. 2 < 5 är sant. Multiplicera båda led med −1 och du får −2 och −5. −2 är större än −5, inte mindre. Tecknet måste vändas för att sanningen ska följa med.
Exempel 1: vänd tecknet när du dividerar med negativt
Lös olikheten −4x + 2 > 14.
−4x + 2 > 14
Subtrahera 2: −4x > 12
Dividera med −4 och vänd tecknet: x < −3
Kontrollera med ett tal på rätt sida och ett på fel. x = −4: −4·(−4) + 2 = 16 + 2 = 18, och 18 > 14. Sant. x = −3: −4·(−3) + 2 = 12 + 2 = 14, och 14 > 14 är falskt, vilket stämmer eftersom tecknet är strikt, värdet −3 ingår inte. x = −2: −4·(−2) + 2 = 10, och 10 > 14 är falskt. Lösningen är alla x strikt mindre än −3.
Exempel 2: sammansatt olikhet
En sammansatt olikhet är två villkor på samma gång, skrivna i en kedja. Lös −1 < 2x + 3 ≤ 11.
Kedjan betyder två saker samtidigt: −1 < 2x + 3, och 2x + 3 ≤ 11. Du får behandla alla tre led lika, så länge du gör samma sak överallt.
−1 < 2x + 3 ≤ 11
Subtrahera 3 i alla led: −4 < 2x ≤ 8
Dividera med 2 i alla led: −2 < x ≤ 4
På tallinjen: öppen cirkel i −2 (ingår inte), fylld cirkel i 4 (ingår), strecket emellan. Kontroll: x = 0 ger 3, och −1 < 3 ≤ 11 stämmer. x = 4 ger 11, och 11 ≤ 11 stämmer. x = −2 ger −1, och −1 < −1 är falskt. Gränserna beter sig som tecknen säger.
Två fällor i kedjor. Den första är att multiplicera med negativt och glömma att vända båda tecknen, plus att byta plats på leden så att den minsta sidan fortfarande står till vänster. Den andra är att läsa kedjan som två oberoende olikheter med olika x. Det är samma x. Lösningen är snittet, inte unionen.
Tallinjen: rita, sedan läs av
När olikheten är löst, rita den. Öppen cirkel för < och >, fylld för ≤ och ≥. Pil åt vänster för "mindre än", åt höger för "större än". En sammansatt olikhet blir ett avgränsat snitt. Två olikheter med "eller" blir två strålar.
På provet hinner du sällan rita snyggt, men en snabb skiss fångar om du har vänt tecknet fel: om du tror att x < −3 och skissen pekar åt plus, har du spegelvänt. Tallinjen är kontrollen, inte dekorationen.
Olikheter på högskoleprovet
De dyker upp på två ställen, sällan under namnet olikhet.
- XYZ. Textuppgifter med villkor: "minst 12", "högst 40", "fler än tre". Det är ≥, ≤ och > i prosa. Samma sak när ett uttryck ska hållas under ett tak, till exempel en kostnad som inte får överstiga ett belopp. Formlerna du behöver i övrigt ligger i HP-formlerna och i översikten av matematiken på Högskoleprovet.
- KVA. Du jämför två kvantiteter. Ofta är den ena ett uttryck med x, och du får ett villkor som x > 2. Då är olikheten det som avgör vilken kvantitet som är störst, inte ett x du ska lösa ut. Exempel: kvantitet A är 2x given att x < −1, kvantitet B är −2. Eftersom x < −1 är 2x < −2, så är A mindre än B. Du löser aldrig ut x. Du drar slutsatsen ur villkoret.
KVA-varianten är den som folk missar för att de letar efter ett tal. Olikheten är informationen. Den talar om vilken sida av en gräns x ligger på, och det räcker för att jämföra.
Vanliga fel
- Glömd vändning. Dividera med −4 och behåll >. Spegelvänd mängd. Skriv "vänd!" i kanten varje gång koefficienten framför x är negativ.
- Strikt mot sluten. x < 5 och x ≤ 5 är olika svar. Testa gränsvärdet. Om det inte uppfyller originalolikheten ska cirkeln vara öppen.
- Sammansatt som union. −2 < x ≤ 4 är talen mellan, inte talen utanför. "Och" är snitt. "Eller" är union.
- Byta led utan att vända. x > 3 är samma sak som 3 < x. Tecknet följer det större talet, inte "samma sida av papperet".
Vanliga frågor
Vad är en olikhet?
Ett påstående som jämför två uttryck med <, >, ≤ eller ≥. Lösningen är den mängd tal som gör påståendet sant, inte ett enda tal som i en ekvation.
När ska man vända olikhetstecknet?
När du multiplicerar eller dividerar båda led med ett negativt tal. Addition, subtraktion och multiplikation med positivt tal lämnar tecknet orört.
Vad är en sammansatt olikhet?
Två villkor skrivna i en kedja, till exempel −2 < x ≤ 4. Samma x ska uppfylla båda. Lösningen är snittet, ritad som ett avgränsat intervall på tallinjen.
Finns olikheter på högskoleprovet?
Ja, i XYZ som villkor i text ("minst", "högst", "fler än") och i KVA som information om vilken sida av en gräns en kvantitet ligger på. Riktiga exempel med facit finns i de gamla proven hos studera.nu.
Hur ritar man en olikhet på tallinjen?
Öppen cirkel om gränsen inte ingår (< eller >), fylld om den ingår (≤ eller ≥). Streck åt det håll olikheten pekar, eller mellan två gränser om olikheten är sammansatt.
Nästa steg
Olikheter går från "jag blandar ihop tecknet" till "klart på tre rader" med några kvällars övning, för att svårigheten sitter i vändningen, inte i algebran. Träna gratis på riktiga HP-frågor och se hur ofta ett "minst" i en mening är ett ≥ i uträkningen.
