Negativa tal: räkneregler, tallinjen och fällorna på provet

Negativa tal är tal som är mindre än noll, till exempel −3 eller −0,5. På tallinjen ligger de till vänster om noll, och ju längre åt vänster, desto mindre är talet: −7 är mindre än −2. Räknereglerna är få. Att subtrahera ett negativt tal är samma sak som att addera: 7 − (−3) = 10. Vid multiplikation och division ger två lika tecken ett positivt svar och två olika tecken ett negativt: (−4) · (−5) = 20 och (−4) · 5 = −20.

Här går vi igenom tallinjen, addition och subtraktion, varför minus gånger minus blir plus, parenteser och minustecken, absolutbelopp och vanliga fällor, till exempel skillnaden mellan −3² och (−3)².

Negativa tal på tallinjen

Negativa tal är alla tal som är mindre än noll. Talet 0 är varken positivt eller negativt. Matteboken beskriver tallinjen så att punkten för noll kallas origo, de positiva talen ligger till höger om den och de negativa till vänster.

−5   −4   −3   −2   −1   0   1   2   3   4   5

mindre ←         → större

Det som förvirrar är att storleken "känns" omvänd. 7 är större än 2, men −7 är mindre än −2, eftersom −7 ligger längre till vänster. En temperatur på −7 °C är kallare än −2 °C. Ett saldo på −700 kr är en större skuld än −200 kr.

Addition och subtraktion med negativa tal

Tänk på tallinjen. Att addera ett positivt tal är att gå åt höger, att subtrahera ett positivt tal är att gå åt vänster. Ett negativt tal vänder riktningen.

Vardagsexempel gör reglerna konkreta. Temperaturen stiger från −4 °C till 3 °C. Ökningen är 3 − (−4) = 7 grader. Ett bankkonto står på −250 kr och du sätter in 400 kr: −250 + 400 = 150 kr. Drar du i stället 120 kr från −250 kr blir saldot −370 kr.

Multiplikation och division

Med fler faktorer räknar du minustecknen. Ett jämnt antal ger positivt svar, ett udda antal negativt. (−1) · (−2) · (−3) = −6, eftersom det är tre minustecken. Samma regel styr potenser: (−2)³ = −8 men (−2)⁴ = 16.

Därför blir minus gånger minus plus

Det är inte en godtycklig regel. Det är det enda som går ihop med de vanliga räknelagarna. Två sätt att se det:

Mönstret. Räkna nedåt i en tabell och se vad som händer:

3 · (−2) = −6
2 · (−2) = −4
1 · (−2) = −2
0 · (−2) = 0
(−1) · (−2) = ?

Varje gång den första faktorn minskar med 1 ökar svaret med 2. Fortsätter mönstret blir nästa rad 2, och raden efter 4.

Räknelagarna. I en artikel i Nämnaren (nr 3, 2019) visar Anders Månsson att regeln följer om de vanliga räknelagarna, bland annat distributiva lagen, ska gälla även för negativa tal. Kortversionen: 0 = (−2) · 0 = (−2) · (3 + (−3)) = (−2) · 3 + (−2) · (−3) = −6 + (−2) · (−3). För att summan ska bli 0 måste (−2) · (−3) vara 6.

En vardagsbild som brukar hjälpa: att ta bort tre skulder på 100 kr var gör dig 300 kr rikare. (−3) · (−100) = 300.

Parenteser och minustecken

Ett minustecken framför en parentes byter tecken på allt inuti när parentesen tas bort: −(a − b) = −a + b. Räkna ut parentesen först eller lös upp den, svaret blir detsamma:

10 − (4 − 7) = 10 − (−3) = 13
10 − 4 + 7 = 13

Ordningen styrs av prioriteringsreglerna: parenteser, sedan potenser, sedan multiplikation och division, sist addition och subtraktion. Matteboken har ett exempel som visar hur mycket en parentes betyder: 10 − 2 · (1 − 3) − 3² = 10 + 4 − 9 = 5, men utan parentesen blir 10 − 2 · 1 − 3 − 3² = −4.

−3² eller (−3)²?

Det här är en fälla som är lätt att gå i. Potensen räknas före minustecknet, om inte minustecknet står inom parentesen. Enligt engelska Wikipedias artikel om räkneordning tolkas −3² i skriven matematik som −(3²) = −9.

−3² = −(3 · 3) = −9
(−3)² = (−3) · (−3) = 9

Samma sak när du sätter in värden. Om x = −3 är x² = (−3)² = 9, men −x² = −(−3)² = −9. Skriv alltid ut parentesen när du sätter in ett negativt tal.

Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett tal är dess avstånd till noll på tallinjen, och det skrivs med lodstreck: |−5| = 5 och |5| = 5. Absolutbeloppet är aldrig negativt.

Absolutbelopp är också avståndet mellan två tal: avståndet mellan −4 och 3 är |3 − (−4)| = 7, samma sak som temperaturökningen ovan. Lägg märke till att |−3| är större än |2|, fast −3 är mindre än 2. Det är två olika frågor: hur långt från noll, och var på tallinjen.

Vanliga fällor med negativa tal

1. −3² mot (−3)². Utan parentes är svaret −9, med parentes 9.
2. Dubbla minustecken. 5 − (−2) är 7, inte 3. Två minustecken i rad blir plus.
3. Jämförelser med negativa decimaltal. −0,5 är större än −0,6, eftersom −0,5 ligger närmare noll. Jämför först som om talen vore positiva, som i artikeln om decimaltal, och vänd sedan ordningen.
4. Olikheter. Multiplicerar eller dividerar du båda leden med ett negativt tal vänder olikhetstecknet. −2x < 6 ger x > −3, inte x < −3. Testa med x = 0: −2 · 0 = 0 < 6 stämmer, och 0 > −3 stämmer.
5. Den negativa lösningen glöms bort. x² = 16 har lösningarna x = 4 och x = −4.
6. Att anta att en variabel är positiv. Står det bara att x är ett tal kan x vara negativt, noll eller ett bråk. Pröva alltid ett negativt värde innan du bestämmer dig.

Negativa tal på högskoleprovet

Enligt studera.nu prövar XYZ, KVA och NOG uppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, funktionslära och statistik. Negativa tal hör till aritmetiken och algebran, och miniräknare finns inte bland de tillåtna hjälpmedlen, så teckenreglerna måste sitta. I anvisningarna för den kvantitativa delen är rekommenderad tid 12 minuter för de 12 uppgifterna i XYZ och 10 minuter för de 10 i KVA.

• XYZ. Uttryck med potenser och parenteser där ett tecken avgör svaret. Mer i guiden till XYZ.
• KVA. Den sista fällan i listan ovan är central här. Svarsalternativet D, att informationen är otillräcklig, kan bli rätt just för att variabeln kan vara negativ, som i uppgift 2 nedan. Se guiden till KVA.

Uppgift 1 (XYZ-stil)

Vad är (−2)³ − (−3)² + (−1)⁴?

A: −18
B: −16
C: 2
D: 18

Lösning: (−2)³ = −8, (−3)² = 9 och (−1)⁴ = 1. Då blir det −8 − 9 + 1 = −16, alltså B. Alternativ A får den som tror att (−1)⁴ är −1. Alternativ C får den som gör −(−3)² till +9.

Uppgift 2 (KVA-stil)

x < 0 < y

Kvantitet I: x · y
Kvantitet II: x − y

A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig

Lösning: Båda kvantiteterna är negativa, men vilken som är störst beror på talen. Med x = −1 och y = 1 är I = −1 och II = −2, så I är större. Med x = −10 och y = 10 är I = −100 och II = −20, så II är större. Svaret är D.

Vanliga frågor

Vad är negativa tal?

Tal som är mindre än noll, som −3 eller −0,5. På tallinjen ligger de till vänster om noll. Noll är varken positivt eller negativt.

Varför blir minus gånger minus plus?

För att det är det enda som stämmer med de vanliga räknelagarna. (−2) · (3 + (−3)) måste bli 0, och det blir det bara om (−2) · (−3) = 6. Mönstret 3 · (−2), 2 · (−2), 1 · (−2) pekar åt samma håll.

Vad blir minus minus?

Att subtrahera ett negativt tal är samma sak som att addera det positiva talet. 7 − (−3) = 7 + 3 = 10.

Är −3² lika med 9 eller −9?

−3² är −9, eftersom potensen räknas före minustecknet. (−3)² är 9, eftersom hela −3 står inom parentesen och multipliceras med sig själv.

Vad är absolutbelopp?

Ett tals avstånd till noll på tallinjen. |−5| = 5 och |5| = 5. Absolutbeloppet av en skillnad, som |3 − (−4)| = 7, ger avståndet mellan två tal.

Nästa steg

Negativa tal sitter när du ser −3² och direkt tänker −9. Träna gratis på HP-frågor och pröva ett negativt värde på varje variabel innan du väljer svar, och repetera prioriteringsreglerna om parenteserna ställer till det.