Prisma i geometri: volym V = B·h, area och räknade exempel

Kort svar: Ett prisma är en geometrisk kropp med två parallella, kongruenta basytor som är månghörningar, där basytornas kanter binds ihop av sidoytor. Volymen är basytans area gånger höjden, V = B · h. Ett prisma med en triangel som basyta (kateterna 3 cm och 4 cm) och höjden 10 cm har alltså volymen 6 · 10 = 60 cm³. Rätblock och kuber är prismor med rektangel respektive kvadrat som basyta.

Så känner du igen ett prisma

Svensk ordbok definierar prisma som "en geometrisk kropp med parallella, kongruenta basytor". Kongruenta betyder att de två basytorna är exakt lika stora och har samma form. Matteboken lägger till att basytorna är månghörningar och att deras kanter binds samman av linjer som bildar sidoytor.

Tre saker är bra att hålla isär:

• Basytan avgör formen. Är basytan en triangel är det ett triangulärt prisma. Med en femhörning eller sexhörning som basyta ser kroppen helt annorlunda ut, men det är fortfarande ett prisma och formeln är densamma.
• Rakt eller snett. Står sidokanterna vinkelrätt mot basytorna kallas det ett rakt prisma. Då är alla sidoytor rektanglar. Lutar kanterna är prismat inte rakt utan snett.
• Specialfallen. Ett rätblock är ett prisma med rektangel som basyta, och en kub är ett rätblock där alla sidor är lika långa. En cylinder har en cirkel som basyta, och en cirkel är ingen månghörning, så en cylinder räknas inte som prisma. Volymformeln är ändå densamma.

Ordet kan vara både ett-ord och en-ord: ett prisma, prismat eller en prisma, prisman. Plural är prismor. Svensk ordbok har båda varianterna.

Formlerna för volym, mantelarea och begränsningsyta

Volymformeln står på Skolverkets formelblad för nationella prov i matematik nivå 1 och matematik 1 (gäller från och med 2025-07-01):

V = B · h

B är basytans area och h är höjden. Höjden är enligt Matteboken det vinkelräta avståndet mellan de båda basytorna. Det gäller även för ett snett prisma: det är det lodräta avståndet som räknas, inte längden på den lutande kanten.

För arean finns två begrepp. Begränsningsytan är summan av arean av alla ytor på kroppen. Mantelarean är sidoytorna utan topp och botten. I ett rakt prisma är varje sidoyta en rektangel med bredden lika med en sida i basytan och höjden h. Lägger du ihop dem får du basytans omkrets gånger höjden:

• Mantelarea (rakt prisma) = O · h, där O är basytans omkrets
• Begränsningsyta (rakt prisma) = 2B + O · h

Ytor, kanter och hörn per typ av prisma

Ett prisma vars basyta har n hörn har n + 2 ytor (två basytor och n sidoytor), 3n kanter och 2n hörn. Tabellen visar de fyra första:

Basyta	Ytor	Kanter	Hörn
Triangel (n = 3)	5	9	6
Fyrhörning, till exempel rätblock (n = 4)	6	12	8
Femhörning (n = 5)	7	15	10
Sexhörning (n = 6)	8	18	12

En snabb kontroll: hörn minus kanter plus ytor blir 2 på varje rad (6 − 9 + 5 = 2). Det är Eulers polyederformel. Har du räknat fel på ett av de tre talen blir summan inte 2.

Exempel 1: triangulärt prisma, volym och area

Basytan är en rätvinklig triangel med kateterna 3 cm och 4 cm. Prismat är rakt och 10 cm långt.

1. Basytans area: B = (3 · 4) / 2 = 6 cm². Se area för triangel om du behöver repetera.
2. Volym: V = 6 · 10 = 60 cm³.
3. Hypotenusan med Pythagoras sats: √(3² + 4²) = √25 = 5 cm. Omkretsen är 3 + 4 + 5 = 12 cm.
4. Mantelarea: 12 · 10 = 120 cm².
5. Begränsningsyta: 2 · 6 + 120 = 132 cm².

Exempel 2: från volym till höjd

Ett prisma har volymen 360 cm³. Basytan är en triangel med basen 8 cm och höjden 5 cm. Hur högt är prismat?

B = (8 · 5) / 2 = 20 cm². Formeln ger 360 = 20 · h, alltså h = 360 / 20 = 18 cm. Lägg märke till att ordet "höjd" används två gånger här: triangelns höjd (5 cm) hör till basytan, prismats höjd (18 cm) är avståndet mellan basytorna.

Exempel 3: rätblock och kub som prismor

Ett rätblock som är 4 cm långt, 5 cm brett och 3 cm högt har basytan 4 · 5 = 20 cm² och volymen 20 · 3 = 60 cm³. Begränsningsytan är 2 · (4 · 5 + 4 · 3 + 5 · 3) = 94 cm². En kub med sidan 3 cm har volymen 3 · 3 · 3 = 27 cm³ och begränsningsytan 6 · 9 = 54 cm². Det är samma formel som för alla prismor, bara med en enklare basyta. Mer om just den formen finns i artikeln om volym av rätblock, och cylinderns motsvarighet i volym av cylinder.

Två fällor i HP-stil

Uppgifterna här är våra egna övningar, inte hämtade från något högskoleprov. Den första är skriven i samma format som KVA, där två kvantiteter jämförs, och den andra är en fråga om skala.

Övning 1. Kvantitet I: volymen av ett rakt prisma vars basyta är en rätvinklig triangel med kateterna 6 cm och 8 cm, och vars höjd är 10 cm. Kvantitet II: volymen av ett rätblock som mäter 6 cm, 8 cm och 5 cm. Vilken är störst, eller är de lika?

Lösning: I: B = (6 · 8) / 2 = 24 cm², V = 24 · 10 = 240 cm³. II: 6 · 8 · 5 = 240 cm³. Kvantiteterna är lika stora. Fällan är att glömma att dela triangelns area med 2. Då får du 480 cm³ för I och svarar att I är större.

Övning 2. Alla längder i prismat från exempel 1 fördubblas. Hur många gånger större blir volymen?

Lösning: Inte 2 gånger. Basytan blir (6 · 8) / 2 = 24 cm² och höjden 20 cm, så volymen blir 480 cm³, alltså 8 gånger 60. Skolverkets formelblad skriver regeln som volymskala = (längdskala)³, och 2³ = 8.

Vill du träna på fler jämförelser av det här slaget kan du köra ett KVA-quiz.

Vanliga frågor

Vad är formeln för volymen av ett prisma?

Volymen är basytans area gånger höjden, V = B · h. Höjden är det vinkelräta avståndet mellan de två basytorna, och formeln gäller oavsett om basytan är en triangel, en rektangel eller en annan månghörning.

Är en kub ett prisma?

Ja. En kub är ett rätblock där alla sidor är lika långa, och ett rätblock är ett prisma med rektangel som basyta. Därför fungerar V = B · h även för en kub: basytan s · s gånger höjden s ger s³.

Är en cylinder ett prisma?

Nej, eftersom ett prismas basytor är månghörningar och en cylinders basyta är en cirkel. Volymen räknas ändå på samma sätt: basytans area gånger höjden, V = πr² · h.

Vad är skillnaden mellan mantelarea och begränsningsyta?

Mantelarean är bara sidoytorna, medan begränsningsytan är alla ytor inklusive de två basytorna. För ett rakt prisma är mantelarean basytans omkrets gånger höjden, och begränsningsytan är mantelarean plus två gånger basytans area.

Heter det en prisma eller ett prisma?

Båda formerna finns i Svensk ordbok, men ett prisma står först. Bestämd form är prismat eller prisman, och plural är prismor.