Kort svar: Arean av en rektangel är basen gånger höjden, A = b · h. Omkretsen är summan av alla fyra sidor, O = 2b + 2h = 2(b + h). En rektangel som är 8 cm bred och 5 cm hög har alltså arean 40 cm² och omkretsen 26 cm. Area anges i kvadratenheter (cm², m²), omkrets i vanliga längdenheter (cm, m).
Här får du formlerna, hur du räknar ut diagonalen med Pythagoras sats, varför kvadraten är ett specialfall, fyra räknade exempel och den fälla som gör att man lätt tror att två rektanglar med samma area också har samma omkrets.
Vad en rektangel är
En rektangel är en fyrhörning med fyra räta vinklar. Matteboken beskriver den som ett specialfall av en parallellogram som enbart har räta vinklar, och konstaterar att motstående sidor är lika långa. Det är den egenskapen som gör formlerna så enkla: en rektangel har bara två olika sidlängder, basen b och höjden h, och var och en av dem förekommer två gånger.
Vilken sida du kallar bas och vilken du kallar höjd spelar ingen roll för resultatet. Vanligtvis väljer man den liggande sidan som bas och den stående som höjd.
Formlerna för area och omkrets
Arean är ett mått på hur stor yta figuren täcker. Matteboken skriver formeln som arean = basen · höjden, och Skolverkets formelblad till nationella prov i matematik nivå 1 och matematik 1 anger samma formel, A = bh, för parallellogrammen, som rektangeln är ett specialfall av. Omkretsen är den sammanlagda längden av sidorna. Eftersom rektangeln har två sidor med längden b och två med längden h blir omkretsen 2b + 2h.
| Storhet |
Formel |
Enhet |
Rektangel 8 × 5 cm |
| Area |
A = b · h |
cm², m² … |
8 · 5 = 40 cm² |
| Omkrets |
O = 2(b + h) |
cm, m … |
2 · (8 + 5) = 26 cm |
| Diagonal |
d = √(b² + h²) |
cm, m … |
√89 ≈ 9,43 cm |
Diagonalen delar rektangeln i två rätvinkliga trianglar. Basen och höjden är kateterna och diagonalen är hypotenusan, så Pythagoras sats a² + b² = c² ger d² = b² + h². Mer om satsen finns i vår guide till Pythagoras sats.
Kvadraten som specialfall
Matteboken beskriver kvadraten som ett specialfall av rektangeln där alla sidor har samma längd. Alla kvadrater är alltså rektanglar, men inte tvärtom. Med sidan s blir formlerna:
- Area: A = s · s = s²
- Omkrets: O = 4s
- Diagonal: d = √(s² + s²) = s√2
En kvadrat med sidan 7 cm har arean 49 cm², omkretsen 28 cm och diagonalen 7√2 ≈ 9,90 cm.
Fyra räknade exempel
Exempel 1: golvet i ett rum. Ett rum är 4,2 m långt och 3,5 m brett. Golvarean är 4,2 · 3,5 = 14,7 m². Ska du sätta golvlist längs alla väggar behöver du omkretsen: 2 · (4,2 + 3,5) = 2 · 7,7 = 15,4 m (om du bortser från dörröppningen).
Exempel 2: arean är känd, sidan saknas. En rektangel har arean 48 cm² och basen 8 cm. Höjden får du genom att dividera arean med basen: h = 48 / 8 = 6 cm. Omkretsen blir 2 · (8 + 6) = 28 cm och diagonalen √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm.
Exempel 3: omkretsen är känd, sidan saknas. En rektangel har omkretsen 30 cm och ena sidan 9 cm. Halva omkretsen är en bas plus en höjd: b + h = 30 / 2 = 15 cm, så den andra sidan är 15 − 9 = 6 cm. Arean blir 9 · 6 = 54 cm². Ett fel som är lätt att göra här är att räkna 30 − 9 = 21 och glömma att omkretsen innehåller varje sida två gånger.
Exempel 4: olika enheter. En skiva är 2 m lång och 50 cm bred. Byt först till samma enhet: 2 m · 0,5 m = 1 m², eller 200 cm · 50 cm = 10 000 cm². Båda svaren är samma yta, eftersom 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Den som multiplicerar 2 · 50 och skriver 100 utan enhet har blandat meter och centimeter.
Fällan: samma area betyder inte samma omkrets
Två rektanglar kan täcka exakt lika stor yta och ändå ha helt olika omkrets. Här är fem rektanglar som alla har arean 36 cm²:
| Sidor |
Area |
Omkrets |
| 1 × 36 cm |
36 cm² |
74 cm |
| 2 × 18 cm |
36 cm² |
40 cm |
| 3 × 12 cm |
36 cm² |
30 cm |
| 4 × 9 cm |
36 cm² |
26 cm |
| 6 × 6 cm |
36 cm² |
24 cm |
Ju mer avlång rektangeln är, desto större blir omkretsen. Samma sak gäller åt andra hållet: rektanglar med samma omkrets kan ha olika area. Med omkretsen 24 cm ger 6 × 6 cm arean 36 cm², 8 × 4 cm ger 32 cm², 10 × 2 cm ger 20 cm² och 11 × 1 cm bara 11 cm².
Varför vinner kvadraten? Med omkretsen 24 cm är b + h = 12, så arean är A = b(12 − b). Det kan skrivas om till A = 36 − (b − 6)², och det uttrycket blir störst när b = 6, alltså när rektangeln är en kvadrat. Av alla rektanglar med en given omkrets har kvadraten störst area.
Så kan rektanglar dyka upp på högskoleprovet
Enligt studera.nu prövar delprovet XYZ förmågan att lösa matematiska problem inom bland annat geometri, och KVA förmågan att göra kvantitativa jämförelser inom samma områden. I KVA jämför du kvantitet I med kvantitet II och väljer mellan fyra svar: I är större än II, II är större än I, I är lika med II, eller informationen är otillräcklig. Läs mer om upplägget på sidan om delprovet KVA.
Här är ett eget exempel i KVA-format (inte en provuppgift): En rektangel har arean 24 cm². Kvantitet I: rektangelns omkrets. Kvantitet II: 20 cm.
| Möjliga sidor |
Omkrets |
Jämfört med 20 cm |
| 4 × 6 cm |
20 cm |
lika med |
| 3 × 8 cm |
22 cm |
större |
| kvadrat, sidan √24 ≈ 4,90 cm |
≈ 19,6 cm |
mindre |
Eftersom omkretsen kan bli både större, lika med och mindre än 20 cm går det inte att avgöra. Svaret är att informationen är otillräcklig. Det är fällan från förra avsnittet i provform: arean ensam bestämmer inte omkretsen.
Två andra fällor att ha koll på:
- Skalning. Dubblar du både basen och höjden blir omkretsen dubbelt så stor men arean fyra gånger så stor. Rektangeln 8 × 5 cm har 40 cm² och 26 cm; rektangeln 16 × 10 cm har 160 cm² och 52 cm. Skolverkets formelblad uttrycker samma regel som areaskala = (längdskala)². Mer om det i artikeln om likformighet.
- Enheter. Kontrollera att alla sidor står i samma enhet innan du multiplicerar, och kom ihåg att 1 m² är 10 000 cm², inte 100 cm².
Vill du ha formlerna för fler figurer samlade på ett ställe, se HP-formler och guiden hur man räknar area. När du vill testa dig själv kan du träna KVA-uppgifter i quizet.
Vanliga frågor om area och omkrets av rektangel
Hur räknar man ut arean av en rektangel?
Du multiplicerar basen med höjden, A = b · h. En rektangel som är 8 cm bred och 5 cm hög har arean 8 · 5 = 40 cm². Svaret anges i kvadratenheter, till exempel cm² eller m².
Hur räknar man ut omkretsen av en rektangel?
Du lägger ihop alla fyra sidorna. Eftersom motstående sidor är lika långa blir det O = 2b + 2h = 2(b + h). För 8 × 5 cm blir omkretsen 2 · (8 + 5) = 26 cm.
Hur räknar man ut en sida om man vet arean?
Dividera arean med den sida du känner till. Har rektangeln arean 48 cm² och basen 8 cm är höjden 48 / 8 = 6 cm. Vet du i stället omkretsen tar du halva omkretsen minus den kända sidan.
Hur räknar man ut diagonalen i en rektangel?
Använd Pythagoras sats: d = √(b² + h²). Diagonalen i en rektangel som är 8 × 6 cm är √(64 + 36) = √100 = 10 cm.
Är en kvadrat en rektangel?
Ja. En kvadrat har fyra räta vinklar och motstående sidor lika långa, och därtill är alla fyra sidor lika långa. Den är alltså ett specialfall av rektangeln, med arean s² och omkretsen 4s.
