Likformighet: likformiga figurer, skalfaktor och areaskala

Kort svar: Två figurer är likformiga när de har exakt samma form men inte nödvändigtvis samma storlek. Motsvarande vinklar är lika stora och alla motsvarande sidor har samma förhållande, skalfaktorn k. Blir längderna k gånger så stora blir arean k² gånger så stor och volymen k³ gånger så stor.

Likformighet används för att räkna ut okända sidor, höjder man inte kan mäta direkt och hur area och volym förändras när något förstoras. Här går vi igenom definitionen, likformiga trianglar, sambandet mellan längd, area och volym, fem räkneexempel och en typisk fälla.

Likformighet betyder samma form

I Svensk ordbok har ordet likformig en särskild matematisk betydelse: "som har exakt samma form", om geometriska figurer. Ordboken ger själv exemplet att vinklarna är lika stora i två likformiga trianglar. För månghörningar i allmänhet krävs två saker samtidigt:

• Motsvarande vinklar är lika stora.
• Förhållandet mellan motsvarande sidor är detsamma. Om den ena triangeln har sidorna a, b och c och den andra x, y och z gäller a/x = b/y = c/z.

Att trianglarna ABC och XYZ är likformiga skrivs ABC ~ XYZ. Ett närliggande begrepp är kongruens: två figurer är kongruenta om motsvarande vinklar och sidor är lika stora. Alla kongruenta figurer är därför också likformiga, med skalfaktorn 1. Mer om storleksförhållanden mellan bild och verklighet finns i guiden om skala.

Likformiga trianglar: två vinklar räcker

Trianglar är ett specialfall. Enligt Matteboken räcker det att två vinklar i den ena triangeln är lika stora som två vinklar i den andra. Vinkelsumman är alltid 180°, så då måste även den tredje vinkeln stämma. Alternativt kan du visa att förhållandet mellan alla motsvarande sidor är detsamma.

En situation där två vinklar automatiskt stämmer är när en linje dras parallellt med en sida i en triangel. Då bildas en mindre triangel i toppen som är likformig med den stora. På Skolverkets formelblad för matematik 5 heter det topptriangelsatsen: om DE är parallell med AB i triangeln ABC gäller DE/AB = CD/AC = CE/BC.

Varning för andra figurer. För fyrhörningar räcker inte vinklarna. En rektangel som är 2 × 4 cm och en kvadrat som är 3 × 3 cm har båda fyra räta vinklar, men kortsidorna ger förhållandet 3/2 = 1,5 och långsidorna 3/4 = 0,75. Sidförhållandena skiljer sig, så figurerna är inte likformiga.

Skalfaktor, areaskala och volymskala

Skalfaktorn k är förhållandet mellan motsvarande sträckor i den nya och den ursprungliga figuren, så k mindre än 1 betyder en förminskning. Alla längder, också omkrets och höjd, förändras med k. Area förändras med k² och volym med k³. Skolverkets formelblad till nationella prov i matematik nivå 1 och matematik 1 skriver det som areaskala = (längdskala)² och volymskala = (längdskala)³.

Ibland vet du area- eller volymförhållandet och behöver gå baklänges till längderna:

Ett areaförhållande på 2 ger alltså inte k = 2 utan k = √2, ungefär 1,41.

Räkneexempel med likformighet

Exempel 1: okända sidor. En triangel har sidorna 6, 8 och 10 cm. En likformig triangel har sidan 15 cm där den första har 6 cm. Vilka är de andra sidorna?
k = 15 / 6 = 2,5. Sidorna blir 8 · 2,5 = 20 cm och 10 · 2,5 = 25 cm. Omkretsen går från 24 cm till 60 cm, också den 2,5 gånger större. Triangeln är rätvinklig eftersom 6² + 8² = 10² (se Pythagoras sats), så arean är 6 · 8 / 2 = 24 cm² i den lilla och 15 · 20 / 2 = 150 cm² i den stora. 150 / 24 = 6,25, vilket är 2,5².

Exempel 2: arean direkt. En triangel har arean 12 cm². En likformig triangel har tre gånger så långa sidor. Vad är dess area?
k = 3 ger k² = 9, så arean blir 12 · 9 = 108 cm². Hur du räknar ut arean från början visar guiden om area av triangel.

Exempel 3: höjden på en flaggstång. En person som är 1,8 m lång kastar en 2,4 m lång skugga. Samtidigt kastar en flaggstång en 12 m lång skugga. Om både person och stång står lodrätt på plan mark och solstrålarna är parallella har de två trianglarna samma vinklar och är likformiga.
Höjden = 1,8 · 12 / 2,4 = 9 m.

Exempel 4: volym. Två glas har exakt samma form. Det lilla är 8 cm högt och rymmer 2 dl, det stora är 12 cm högt. Hur mycket rymmer det stora?
k = 12 / 8 = 1,5 och k³ = 3,375. Det stora glaset rymmer 2 · 3,375 = 6,75 dl, inte 3 dl som man får om man bara räknar med k.

Exempel 5: från area till längd. Två likformiga rektanglar har areorna 20 cm² och 45 cm². Den lilla är 4 cm bred. Hur bred är den stora?
Areaförhållandet är 45 / 20 = 2,25, så k = √2,25 = 1,5. Bredden blir 4 · 1,5 = 6 cm. Kontroll: den lilla är 4 × 5 cm och den stora 6 × 7,5 cm, och 6 · 7,5 = 45.

HP-fällan: dubbla sidan ger inte dubbla arean

På högskoleprovets kvantitativa del ingår både XYZ, med matematisk problemlösning, och KVA, där du jämför två kvantiteter och väljer mellan "I är större än II", "II är större än I", "I är lika med II" och "informationen är otillräcklig". Här är ett eget övningsexempel i den stilen, inte hämtat från något prov:

En kvadrat har sidan s, där s > 0. En annan kvadrat har sidan 2s.
Kvantitet I: arean av den större kvadraten
Kvantitet II: dubbla arean av den mindre kvadraten

Den som tänker "dubbla sidan, dubbla arean" svarar att de är lika. Men den större kvadraten har arean (2s)² = 4s², medan dubbla den mindre arean är 2s². Eftersom s > 0 är I större än II.

Tre kontrollfrågor vid likformiga figurer:

1. Frågas det om längd, area eller volym? Välj k, k² eller k³ efter det.
2. Är det rätt sidor som paras ihop? Kortaste sidan hör ihop med kortaste sidan, och sidan mittemot en viss vinkel med sidan mittemot samma vinkel i den andra figuren.
3. Är figurerna verkligen likformiga? För trianglar räcker två lika vinklar. För rektanglar och andra fyrhörningar måste du också kontrollera sidförhållandet.

Samma resonemang gäller kartor och modeller. En modell i skala 1:20 har skalfaktorn k = 1/20 jämfört med originalet: längderna är 1/20 av originalets, ytorna (1/20)² = 1/400 och volymerna (1/20)³ = 1/8 000.

Vill du träna geometri och andra kvantitativa uppgifter i provets format kan du köra ett XYZ-quiz.

Vanliga frågor om likformighet

Vad betyder likformighet i matematik?

Att två figurer har exakt samma form men inte nödvändigtvis samma storlek. Motsvarande vinklar är lika stora och förhållandet mellan motsvarande sidor är detsamma i hela figuren.

Vad är skillnaden mellan likformighet och kongruens?

Likformiga figurer har samma form, medan kongruenta figurer har både samma form och samma storlek. Alla kongruenta figurer är därför likformiga, med skalfaktorn 1, men alla likformiga figurer är inte kongruenta.

Hur vet man om två trianglar är likformiga?

Det räcker att två vinklar i den ena triangeln är lika stora som två vinklar i den andra, eftersom den tredje vinkeln då också måste stämma. Du kan också visa att förhållandet mellan alla tre par av motsvarande sidor är detsamma.

Vad är areaskala?

Areaskalan är längdskalan i kvadrat. Om alla längder blir k gånger så stora blir arean k² gånger så stor, så tre gånger så långa sidor ger nio gånger så stor area.

Hur räknar man ut skalfaktorn?

Dela en sida i den nya figuren med motsvarande sida i den ursprungliga, till exempel 15 / 6 = 2,5. Vet du i stället areaförhållandet tar du kvadratroten, och vet du volymförhållandet tar du kubikroten.

Är alla kvadrater likformiga?

Ja. Alla kvadrater har fyra räta vinklar och fyra lika långa sidor, så förhållandet mellan motsvarande sidor blir alltid detsamma.