Kon volym: formeln πr²h/3 med räknade exempel

Kort svar: Volymen av en kon är V = πr²h/3, där r är radien i bottenytan och h är höjden. Det är exakt en tredjedel av en cylinder med samma bottenyta och höjd. En kon med radien 3 cm och höjden 4 cm har volymen 12π cm³, ungefär 37,7 cm³. Mantelarean, den lutande ytan, är πrs, där s är sidans längd från kanten upp till spetsen.

Formeln och de tre måtten

En rak, cirkulär kon har en cirkel som botten och en spets rakt ovanför cirkelns mittpunkt. Det är den formen en glasstrut har. Tre mått förekommer, och det är viktigt att hålla isär dem:

• r, radien i bottencirkeln.
• h, höjden, det lodräta avståndet från bottenytan till spetsen.
• s, sidan eller generatrisen, det sneda avståndet längs ytan från kanten till spetsen.

Formlerna står på Skolverkets formelblad för nationella prov i matematik. På högskoleprovet får du inget formelblad, så dem behöver du kunna utantill:

• Volym: V = πr²h/3. Skrivet med bottenytan B = πr² blir det V = Bh/3.
• Mantelarea: A = πrs.
• Total area (mantel plus botten, står inte på formelbladet men följer av de två andra): πrs + πr² = πr(s + r).

Höjden h hör till volymen. Sidan s hör till mantelarean. Radien, höjden och sidan bildar en rätvinklig triangel med s som hypotenusa, så s = √(r² + h²) enligt Pythagoras sats.

Exempel 1: radien 3 cm och höjden 4 cm

1. Bottenytan: πr² = π · 3² = 9π cm².
2. Gånger höjden: 9π · 4 = 36π. Det är cylinderns volym.
3. Delat med 3: 36π / 3 = 12π cm³.
4. Med π ≈ 3,14159 blir volymen ungefär 37,7 cm³, avrundat till en decimal.

För mantelarean behövs sidan: s = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm. Mantelarean är π · 3 · 5 = 15π cm² ≈ 47,1 cm². Lägger du till bottenytan 9π blir den totala arean 24π cm² ≈ 75,4 cm². Båda avrundade till en decimal.

En tredjedel av cylindern

Tänk dig en cylinder och en kon med samma bottencirkel och samma höjd. Cylindern rymmer πr²h. Konen rymmer en tredjedel av det. Fyller du konen med vatten tre gånger och häller över i cylindern blir cylindern full. Med måtten från exempel 1 rymmer cylindern 36π cm³ ≈ 113,1 cm³ och konen 12π cm³ ≈ 37,7 cm³.

Samma tredjedel gäller för en pyramid jämfört med ett prisma: V = Bh/3 i stället för Bh. Kan du cylinderns formel i cylinderns volym behöver du alltså bara komma ihåg att dela med 3.

Exempel 2: diametern 12 cm och höjden 8 cm

Radien är halva diametern: 12 / 2 = 6 cm.

1. πr² = π · 36 = 36π cm².
2. 36π · 8 = 288π.
3. 288π / 3 = 96π cm³ ≈ 301,6 cm³, avrundat till en decimal.

Sidan är √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm, och mantelarean blir π · 6 · 10 = 60π cm² ≈ 188,5 cm².

Räknar du med 12 som radie får du π · 144 · 8 / 3 = 384π cm³, fyra gånger för mycket. Faktorn är 4 och inte 8 som för ett klot, eftersom bara radien står i kvadrat i konens formel. Höjden påverkas inte av felet.

Exempel 3: från volym till höjd

En kon har volymen 50π cm³ och radien 5 cm. Hur hög är den?

1. Skriv formeln: π · 5² · h / 3 = 50π.
2. Dela med π: 25h / 3 = 50.
3. Multiplicera med 3: 25h = 150.
4. Dela med 25: h = 6 cm.

Vill du ha sidan också: s = √(25 + 36) = √61 ≈ 7,8 cm, avrundat till en decimal. Sidan är alltid längre än höjden, eftersom den är hypotenusan.

Tre fällor med kon

Sidan i stället för höjden. Med r = 3 och s = 5 från exempel 1 blir det fel om du sätter in 5 som höjd: π · 9 · 5 / 3 = 15π cm³ i stället för rätt 12π cm³. Står den sneda sträckan i figuren måste du först räkna fram höjden med Pythagoras.

Halva höjden är inte halva volymen. Ta en kon med radien 6 cm och höjden 8 cm, med spetsen nedåt, och fyll den till 4 cm höjd. Vattnet bildar en mindre kon som är likformig med den stora, med radien 3 cm och höjden 4 cm. Den rymmer π · 9 · 4 / 3 = 12π cm³, medan hela konen rymmer 96π cm³. Vattnet är alltså bara 12/96 = 1/8 av konen. Volymskalan är längdskalan i kubik, och (1/2)³ = 1/8. För att konen ska vara halvfull behöver vattnet nå ungefär 79 procent av höjden, eftersom ∛0,5 ≈ 0,79. Med höjden 8 cm är det cirka 6,3 cm.

Dubbel radie mot dubbel höjd. Här är en jämförelse i samma stil som KVA, som vi har konstruerat själva:

• Kvantitet I: volymen av en kon med radien 6 och höjden 4.
• Kvantitet II: volymen av en kon med radien 3 och höjden 8.

Kvantitet I är π · 36 · 4 / 3 = 48π. Kvantitet II är π · 9 · 8 / 3 = 24π. Kvantitet I är dubbelt så stor. Att dubbla radien fyrdubblar volymen, att dubbla höjden dubblar den bara. Siffrorna 6 · 4 och 3 · 8 är båda 24, och den likheten kan få det att se ut som att kvantiteterna är lika.

Konen och halvklotet

En kon med radien r och höjden r har volymen πr² · r / 3 = πr³/3. Ett halvklot med samma radie har volymen 2πr³/3, alltså dubbelt så mycket. Med r = 3 är konen 9π cm³ och halvklotet 18π cm³.

Volymer i cm³ och areor i cm², decimalerna avrundade till en decimal. Sista raden visar fällan med halva höjden igen: 1,5π är en åttondel av 12π.

Vanliga frågor

Vad är formeln för en kons volym?

V = πr²h/3, där r är bottencirkelns radie och h är den lodräta höjden. Det är bottenytan gånger höjden, delat med 3.

Varför delar man med 3?

För att en kon rymmer en tredjedel av en cylinder med samma bottenyta och höjd. Cylinderns volym är πr²h, och konen tar en tredjedel av den. Samma sak gäller pyramiden jämfört med prismat.

Vad är skillnaden mellan höjd och sida i en kon?

Höjden h går lodrätt från bottenytans mittpunkt upp till spetsen. Sidan s går snett längs ytan från kanten till spetsen. Volymen räknas med h, mantelarean med s, och s = √(r² + h²).

Hur räknar man mantelarean på en kon?

Mantelarean är πrs. Med radien 3 cm och sidan 5 cm blir den 15π cm², ungefär 47,1 cm². Vill du ha hela ytan lägger du till bottencirkeln πr².

Är en kon som är fylld till halva höjden halvfull?

Nej. Med spetsen nedåt rymmer den då bara en åttondel av hela volymen, eftersom både radien och höjden halveras och (1/2)³ = 1/8. Halvfull blir den först vid ungefär 79 procent av höjden.

Nästa steg

Formlerna för kon, cylinder och klot står samlade på Skolverkets formelblad för matematik 2, och Mattebokens avsnitt om koner visar hur formeln kommer från cylindern. Alla kroppar finns också i vår formelsamling.

Räkna exempel 1 och fällan med halva höjden en gång till på egen hand. Testa dig sedan på blandade uppgifter i ett XYZ-quiz, eller läs mer om jämförelseuppgifterna på KVA-sidan.