Koordinatsystemet är det verktyg som gör geometri till algebra: varje punkt får två tal, och varje linje blir en ekvation. På högskoleprovet finns det på två ställen samtidigt. I XYZ-delen som räkneuppgifter om punkter, avstånd och linjer, och i DTK-delen som diagram där axlarna är koordinatsystemets axlar och varje stapel eller kurva är punkter i det. Den som är bekväm med systemet läser båda snabbare.
Här är grunderna, de formler som faktiskt används, och de uppgiftstyper där koordinatsystemet dyker upp.
Så är ett koordinatsystem uppbyggt
Ett koordinatsystem i planet består av två tallinjer som korsar varandra i rät vinkel: den vågräta x-axeln och den lodräta y-axeln. Skärningspunkten kallas origo och har koordinaterna (0, 0).
Varje punkt beskrivs av ett talpar (x, y): först hur långt åt höger (positivt) eller vänster (negativt) från origo, sedan hur långt uppåt eller nedåt. Punkten (3, −2) ligger alltså tre steg åt höger och två steg nedåt. Ordningen är fast: x först, y sedan. Det är den enskilt vanligaste källan till fel i den här uppgiftstypen.
De fyra kvadranterna
Axlarna delar planet i fyra delar, numrerade moturs från övre högra hörnet:
| Kvadrant |
Tecken |
Exempel |
| Första (övre höger) | x > 0, y > 0 | (2, 5) |
| Andra (övre vänster) | x < 0, y > 0 | (−3, 1) |
| Tredje (nedre vänster) | x < 0, y < 0 | (−4, −2) |
| Fjärde (nedre höger) | x > 0, y < 0 | (1, −6) |
Punkter på axlarna tillhör ingen kvadrant. (0, 4) ligger på y-axeln, (−2, 0) på x-axeln. NOG-uppgifter använder gärna det: "punkten ligger i tredje kvadranten" är en fullständig upplysning om att både x och y är negativa.
Avståndet mellan två punkter
Avståndet mellan (x₁, y₁) och (x₂, y₂) är Pythagoras sats i förklädnad. Skillnaden i x och skillnaden i y är kateterna, avståndet är hypotenusan:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Avståndet mellan (1, 2) och (4, 6): √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Ordningen på punkterna spelar ingen roll, eftersom skillnaderna kvadreras. Känner du igen de pythagoreiska tripplarna (3, 4, 5), (5, 12, 13) och (6, 8, 10) slipper du oftast dra roten ur alls. Mer i vår guide till Pythagoras sats.
Mittpunkten
Mittpunkten mellan två punkter är medelvärdet av koordinaterna, var för sig:
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
Mittpunkten mellan (1, 2) och (4, 6): ((1 + 4) / 2, (2 + 6) / 2) = (2,5, 4)
Formeln fungerar baklänges också. Vet du mittpunkten och den ena ändpunkten får du den andra genom att gå lika långt till: från (1, 2) via (2,5, 4) hamnar du på (4, 6).
Lutning och räta linjer
Lutningen k för linjen genom två punkter är förändringen i y delat med förändringen i x:
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Linjen genom (1, 2) och (4, 6): k = (6 − 2) / (4 − 1) = 4 / 3
Positiv lutning betyder att linjen stiger åt höger, negativ att den faller. Två linjer är parallella om de har samma k. Med lutningen och en punkt kan du skriva hela linjens ekvation y = kx + m, vilket vi går igenom i räta linjens ekvation. Där en linje skär y-axeln är x = 0, och där den skär x-axeln är y = 0. Det senare är ett återkommande frågeformat: "var skär linjen y = 2x − 6 x-axeln?" Sätt y = 0, lös, svaret är (3, 0).
Area i koordinatsystemet
Figurer med hörn i givna punkter är en klassisk XYZ-uppgift. En rektangel med hörn i (1, 1), (5, 1), (5, 4) och (1, 4) har sidorna 4 och 3, arean 12. En triangel med hörn i (0, 0), (6, 0) och (2, 5) har basen 6 (längs x-axeln) och höjden 5 (y-koordinaten för toppen), arean 6 · 5 / 2 = 15. Knepet är att alltid leta efter en sida som är parallell med en axel, då är basen eller höjden direkt avläsbar.
Koordinatsystemet i DTK
Ett linjediagram är ett koordinatsystem där x-axeln oftast är tid och y-axeln en storhet. Allt ovan gäller: lutningen på en kurva mellan två år är förändringen per år, en brantare kurva betyder snabbare förändring, och två kurvor som skär varandra betyder att storheterna var lika just då. Den som tänker "vad är k mellan de här två punkterna" i stället för "hur mycket ökade det" läser diagrammet med samma verktyg som algebran. Mer om hur du läser diagram i vår guide till DTK-delen.
Tre vanliga fel
- Byta plats på x och y. (3, −2) är inte (−2, 3). Läs alltid "höger-vänster först, sedan upp-ner".
- Glömma minustecknet i avståndsformeln. (4 − (−1)) är 5, inte 3. Skriv ut parenteserna när en koordinat är negativ.
- Läsa av axlarna med fel skala. I DTK börjar y-axeln ofta inte på noll, och en skala i tusental gör att "3" betyder 3 000. Titta på axelns rubrik innan du läser av ett enda värde.
Vanliga frågor
Vad är ett koordinatsystem?
Två tallinjer, x-axeln och y-axeln, som korsar varandra i rät vinkel i origo. Varje punkt i planet beskrivs av ett talpar (x, y) som anger läget i förhållande till axlarna.
Vilken koordinat kommer först, x eller y?
x först, y sedan. Punkten (2, 5) ligger två steg åt höger och fem steg uppåt från origo. Ett minnesknep: x kommer före y i alfabetet, och "höger" kommer före "upp" i punkten.
Hur räknar man ut avståndet mellan två punkter?
Med Pythagoras sats: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Skillnaden i x och skillnaden i y är kateterna, avståndet är hypotenusan.
Hur används koordinatsystem på högskoleprovet?
I XYZ som räkneuppgifter om punkter, avstånd och linjer, och i DTK som diagram där axlarna är koordinataxlar. Provets exakta uppbyggnad, med 12 XYZ- och 12 DTK-uppgifter per kvantitativt provpass, framgår av provhäftena hos studera.nu.
Vad är origo?
Punkten där axlarna korsar varandra, med koordinaterna (0, 0). Alla koordinater anges som avstånd från origo. Ordet kommer från latinets origo, ursprung, som Wikipedias artikel om koordinatsystem beskriver närmare.
Träna på riktigt
Koordinatsystemet är samma verktyg i XYZ och DTK, så varje timme du lägger på det betalar sig i två delprov. Träna gratis på riktiga HP-frågor och se hur ofta en uppgift bara är två punkter och en formel. Alla formler finns samlade i vår formelsamling för högskoleprovet.
