Ett ekvationssystem är två eller flera ekvationer som ska gälla samtidigt, med samma obekanta. Det klassiska fallet är två ekvationer och två obekanta, x och y, och det är också det enda fallet högskoleprovet bryr sig om. Uppgifterna är sällan skrivna som ekvationer. De är skrivna som text: två biljetter och tre läskar kostar 190 kr, tre biljetter och två läskar kostar 210 kr, vad kostar en biljett? Den som ser att det är ett ekvationssystem har halva lösningen.
Här är de två metoderna, när var och en är snabbast, vad som händer när systemet saknar lösning, och hur du känner igen ett ekvationssystem i en textuppgift.
Vad ett ekvationssystem är
Ett linjärt ekvationssystem med två obekanta skrivs ofta med en klammer:
2x + 3y = 190
3x + 2y = 210
Lösningen är det talpar (x, y) som gör att båda ekvationerna stämmer. En ekvation ensam har oändligt många lösningar (varje x ger ett y), det är kombinationen som låser fast svaret. Grafiskt är varje ekvation en rät linje, och lösningen är punkten där linjerna skär varandra.
Substitutionsmetoden
Lös ut en variabel ur den ena ekvationen och sätt in uttrycket i den andra. Använd den när någon av ekvationerna redan har en ensam variabel, eller nästan.
y = 2x + 1
3x + y = 16
Sätt in y: 3x + (2x + 1) = 16
5x + 1 = 16
x = 3
y = 2 · 3 + 1 = 7
Kontrollera alltid i den ekvation du inte använde sist: 3 · 3 + 7 = 16. Stämmer. Kontrollen tar fem sekunder och fångar de flesta slarvfel.
Additionsmetoden
Multiplicera ekvationerna så att en variabel får motsatta koefficienter, och addera dem så att variabeln försvinner. Använd den när båda ekvationerna har båda variablerna med "obekväma" koefficienter, som i biljettexemplet.
2x + 3y = 190 (multiplicera med 3)
3x + 2y = 210 (multiplicera med 2)
6x + 9y = 570
6x + 4y = 420
Subtrahera: 5y = 150, så y = 30
Sätt in: 2x + 90 = 190, så x = 50
En biljett kostar 50 kr och en läsk 30 kr. Kontroll i den andra ekvationen: 3 · 50 + 2 · 30 = 210. Stämmer.
Vilken metod ska du välja?
| Situation |
Snabbast |
| En ekvation är redan löst för x eller y | Substitution |
| En variabel har koefficient 1 i någon ekvation | Substitution |
| Samma variabel har samma eller motsatt koefficient i båda | Addition (direkt, utan att multiplicera) |
| Båda ekvationerna har "krångliga" koefficienter | Addition |
| Uppgiften frågar efter x + y eller x − y, inte x och y var för sig | Addera eller subtrahera ekvationerna rakt av, ofta klart på en rad |
Den sista raden är ett riktigt HP-knep. Frågar uppgiften "vad är x + y?" behöver du kanske aldrig lösa ut x och y. I systemet 2x + 3y = 190 och 3x + 2y = 210 ger addition direkt 5x + 5y = 400, alltså x + y = 80. En rad i stället för sex.
När systemet saknar lösning, eller har oändligt många
Två linjer skär varandra i exakt en punkt, om de inte är parallella. Är de parallella finns ingen lösning, och är de samma linje finns oändligt många. Du ser det på koefficienterna:
- Ingen lösning: x + y = 5 och x + y = 8. Samma vänsterled, olika högerled. Inget talpar kan ha summan både 5 och 8.
- Oändligt många: x + y = 5 och 2x + 2y = 10. Den andra ekvationen är den första gånger två, alltså samma villkor.
På högskoleprovet dyker det här upp i NOG-delen: "Är informationen tillräcklig för att bestämma x?" Två påståenden som i själva verket är samma ekvation ger inte tillräcklig information, hur mycket det än ser ut som två ekvationer.
Grafisk tolkning
Skriv om varje ekvation på formen y = kx + m och rita linjerna, så är lösningen skärningspunkten. På provet ritar du sällan, men bilden hjälper resonemanget: två linjer med olika lutning (olika k) skär alltid varandra exakt en gång, så systemet har exakt en lösning. Samma lutning men olika m ger parallella linjer, ingen lösning. Mer om linjer i vår guide till räta linjens ekvation och till koordinatsystemet.
Så känner du igen ekvationssystem i textuppgifter
Signalen är två okända storheter och två oberoende uppgifter om dem. Några vanliga förklädnader:
- Priser: "Två kaffe och en bulle kostar 65 kr, ett kaffe och två bullar 70 kr." Låt kaffe vara x och bulle y.
- Åldrar: "Anna är tre år äldre än Erik, tillsammans är de 31." x = y + 3 och x + y = 31.
- Antal: "På en parkering står bilar och motorcyklar, 20 fordon med 64 hjul." x + y = 20 och 4x + 2y = 64.
- Blandningar och hastigheter: två sträckor, två tider, en gemensam totalsumma.
Sätt upp ekvationerna innan du börjar räkna. De flesta fel i den här uppgiftstypen är översättningsfel från text till ekvation, inte räknefel. Vi har fler exempel på hur textuppgifter översätts i guiden om XYZ-delen.
Ett fullständigt HP-exempel
På en parkering står 20 fordon, bilar och motorcyklar, med sammanlagt 64 hjul. Hur många bilar står där?
b + m = 20
4b + 2m = 64
Substitution: m = 20 − b
4b + 2(20 − b) = 64
4b + 40 − 2b = 64
2b = 24
b = 12 bilar (och 8 motorcyklar: 48 + 16 = 64 hjul)
Tempotips: om svarsalternativen är 8, 10, 12, 14 och 16 kan du också testa dem. 12 bilar ger 48 hjul, 8 motorcyklar ger 16, summan 64. Klart. Att testa alternativ är fullt tillåtet och ofta snabbare än att lösa systemet formellt.
Vanliga frågor
Vad är ett ekvationssystem?
Två eller flera ekvationer med gemensamma obekanta som ska vara uppfyllda samtidigt. Lösningen är de värden på de obekanta som gör att alla ekvationerna stämmer.
Vilken metod är bäst, substitution eller addition?
Substitution när en variabel redan är ensam eller har koefficient 1. Addition när båda ekvationerna har båda variablerna med större koefficienter. Frågar uppgiften bara efter x + y, prova att addera ekvationerna rakt av först.
Kan ett ekvationssystem sakna lösning?
Ja, om ekvationerna beskriver parallella linjer, till exempel x + y = 5 och x + y = 8. Och om de beskriver samma linje, som x + y = 5 och 2x + 2y = 10, finns oändligt många lösningar.
Hur vanliga är ekvationssystem på högskoleprovet?
De förekommer nästan varje prov, men sällan under eget namn: som textuppgifter i XYZ och som "räcker informationen"-frågor i NOG. Riktiga exempel med facit finns i de gamla proven hos studera.nu.
Hur löser man ett ekvationssystem med tre obekanta?
Med samma metoder, i två omgångar: eliminera en variabel ur två par av ekvationer så att du får ett system med två obekanta, och lös det. På högskoleprovet förekommer i praktiken bara två obekanta. En systematisk genomgång av större system finns hos Wikipedia.
Träna på riktigt
Ekvationssystem är en av de uppgiftstyper som går från "tar fem minuter" till "tar en minut" med några kvällars övning, för att svårigheten sitter i översättningen, inte i algebran. Träna gratis på riktiga HP-frågor och se hur ofta två meningar i en textuppgift är två ekvationer i förklädnad.
