Potenser är ett sätt att skriva upprepad multiplikation: 2⁵ betyder 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Reglerna för hur potenser får kombineras är få, men de dyker upp i nästan varje algebrauppgift på högskoleprovet, och de flesta fel i XYZ och KVA som handlar om potenser beror inte på att man inte kan reglerna, utan på att man använder en regel som inte finns.
Här är alla regler, vad de betyder, exempel på var och en, och de tre fällor som provkonstruktörerna återkommer till.
Vad en potens är
I uttrycket aⁿ kallas a för basen och n för exponenten. Basen är talet som multipliceras, exponenten hur många gånger. 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Läs det som "tre upphöjt till fyra".
Några potenser är värda att kunna utantill eftersom de återkommer: tvåpotenserna 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024 (upp till 2¹⁰), trepotenserna 3, 9, 27, 81, 243, och kvadrattalen upp till 15² = 225. Kan du dem känner du igen 64 som både 2⁶, 4³ och 8², vilket är exakt den sortens omskrivning provet bygger på.
Potensreglerna
| Regel |
Så ser den ut |
Exempel |
| Multiplikation, samma bas | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Division, samma bas | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25 |
| Potens av potens | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potens av produkt | (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (2 · 5)³ = 8 · 125 = 1 000 |
| Potens av kvot | (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ | (2 / 3)² = 4 / 9 |
| Exponenten noll | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 17⁰ = 1 |
| Negativ exponent | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 1 / 8 |
| Bråkexponent | a^(1/n) = ⁿ√a | 16^(1/2) = √16 = 4 |
Varför blir a⁰ = 1? Följ divisionsregeln: 5³ / 5³ = 5³⁻³ = 5⁰, och 5³ / 5³ är ett tal delat med sig självt, alltså 1. Samma resonemang ger den negativa exponenten: 5² / 5³ = 5⁻¹, och 25 / 125 = 1 / 5. Reglerna är inte påhittade, de följer av varandra.
Tre fällor provet återkommer till
1. Addition har ingen potensregel
(a + b)ⁿ är inte aⁿ + bⁿ. Kontrollera: (2 + 3)² = 25, men 2² + 3² = 13. Potensreglerna gäller för gånger och delat, aldrig för plus och minus. Samma sak gäller aᵐ + aⁿ: 2³ + 2⁴ är 8 + 16 = 24, inte 2⁷. Ser du ett plustecken mellan potenserna finns det ingen genväg, du får räkna ut dem.
2. Multiplikation lägger ihop exponenterna, inte baserna
2³ · 2⁴ = 2⁷, inte 4⁷. Basen är densamma, det är antalet faktorer som ökar. Och 2³ · 3³ = 6³ (samma exponent, olika bas, produktregeln baklänges), inte 6⁶.
3. Minustecken och parenteser
(−2)² = 4, men −2² = −4. I det andra fallet gäller exponenten bara tvåan, och minustecknet sätts på efteråt. Provet skriver gärna uttryck som −3² bland svarsalternativen just för att skilja den som läser noggrant från den som gissar. Regeln: exponenten hör till det som står närmast till vänster, och bara till det.
Tiopotenser och stora tal
Tiopotenser är det enklaste sättet att hantera stora och små tal i huvudet: 10³ = 1 000, 10⁶ = 1 000 000, 10⁻² = 0,01. Ett tal i grundpotensform skrivs som ett tal mellan 1 och 10 gånger en tiopotens: 3 400 = 3,4 · 10³ och 0,0052 = 5,2 · 10⁻³.
Poängen visar sig när du multiplicerar: (3 · 10⁴) · (2 · 10³) = 6 · 10⁷. Räkna talen för sig och exponenterna för sig. På DTK-delen, där tabeller ofta anges i tusental eller miljoner, är det här tekniken som gör att du inte tappar en nolla.
Rötter är potenser
√a är samma sak som a^(1/2), och ∛a är a^(1/3). Det betyder att alla regler ovan gäller rötter också. Vill du förenkla √8 · √2 kan du skriva om det som (8 · 2)^(1/2) = 16^(1/2) = 4. Och 8^(2/3) betyder "kubikroten ur 8, upphöjt till 2", alltså 2² = 4. Mer om rötter i vår guide till roten ur.
Potenser på högskoleprovet: tre exempel
- KVA: "Kvantitet I: 2¹⁰. Kvantitet II: 10³." 2¹⁰ = 1 024 och 10³ = 1 000, så kvantitet I är störst. Den som kan tvåpotenserna svarar på fem sekunder.
- XYZ: "Förenkla (x³)² · x⁻⁴." Potens av potens ger x⁶, gånger x⁻⁴ ger x². Svarsalternativen innehåller garanterat x⁵ (för den som adderade i stället för multiplicerade) och x¹⁰ (för den som glömde minustecknet).
- NOG: "Är x större än 1? (1) x² > x. (2) x > 0." Villkor 1 ensamt räcker inte (x = −2 ger 4 > −2 men x är inte större än 1). Tillsammans räcker de: ett positivt tal som är större än sin kvadrat måste vara mindre än 1, så x² > x tvingar x > 1.
Hur de kvantitativa delproven är upplagda går vi igenom i egna guider, och alla formler finns samlade i vår formelsamling för högskoleprovet.
Vanliga frågor
Vad blir ett tal upphöjt till 0?
1, för alla tal utom 0. Det följer av divisionsregeln: a³ / a³ = a⁰, och ett tal delat med sig självt är 1. Uttrycket 0⁰ lämnas odefinierat i de flesta sammanhang och förekommer inte på högskoleprovet.
Vad betyder en negativ exponent?
Att du ska ta inversen: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Så 10⁻³ = 1 / 1 000 = 0,001 och 2⁻¹ = 1 / 2. En negativ exponent ger aldrig ett negativt tal om basen är positiv.
Vad är skillnaden mellan (−3)² och −3²?
(−3)² = 9, eftersom hela −3 kvadreras. −3² = −9, eftersom exponenten bara gäller trean och minustecknet läggs på efteråt.
Behöver man kunna potenser på högskoleprovet?
Ja, i XYZ, KVA och NOG, men aldrig som egen fråga. Reglerna används för att förenkla uttryck och jämföra tal. Gamla prov med facit hos studera.nu visar hur de dyker upp i praktiken.
Hur räknar man med potenser som har olika bas?
Har de samma exponent kan du använda produktregeln baklänges: 2³ · 5³ = (2 · 5)³ = 1 000. Har de varken samma bas eller samma exponent finns ingen regel, då får du räkna ut varje potens för sig. Ibland går det att skriva om baserna: 4³ · 2² = (2²)³ · 2² = 2⁶ · 2² = 2⁸.
Träna reglerna tills de sitter
Potensreglerna är åtta rader, men det är i tillämpningen de sätter sig. Träna gratis på riktiga HP-frågor och se hur ofta en omskrivning med potenser är hela lösningen. En bra genomgång av reglerna med bevis finns också hos Wikipedia.
