Roten ur är en av de operationer som dyker upp överallt på högskoleprovets kvantitativa del, nästan aldrig som egen fråga men ständigt som ett steg på vägen: i Pythagoras sats, i areaberäkningar, i KVA-jämförelser mellan en rot och ett decimaltal. Eftersom miniräknare inte är tillåten på provet måste du kunna hantera rötter i huvudet och på papper.
Här är definitionen, de kvadrattal du bör kunna utantill, räknereglerna, och tekniken för att uppskatta en rot på några sekunder.
Vad betyder roten ur?
Roten ur ett tal (kvadratroten) är det tal som multiplicerat med sig självt ger talet. Roten ur 25 är 5, eftersom 5 · 5 = 25. Det skrivs √25 = 5.
Tekniskt har ekvationen x² = 25 två lösningar, 5 och −5, men symbolen √ betyder alltid det icke-negativa värdet (matematiker kallar det principalvärdet, se Wikipedia om kvadratrot). Så √25 = 5, aldrig −5. Det är en vanlig fälla: när en uppgift frågar efter roten ur ett tal är svaret positivt, när den frågar vilka tal som löser x² = 25 är svaret båda.
Roten ur ett negativt tal finns inte bland de vanliga (reella) talen, eftersom inget tal gånger sig självt blir negativt. På högskoleprovet betyder det helt enkelt att uttryck som √(−4) inte förekommer.
Kvadrattalen du bör kunna utantill
Nästan all snabbhet med rötter kommer från att känna igen kvadrattal direkt. De här bör sitta:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
Lägg gärna till 16² = 256, 20² = 400 och 25² = 625. Med de här i huvudet ser du direkt att √144 = 12 och att √150 ligger strax över 12.
Räkneregler för rötter
Tre regler räcker för nästan allt:
- Produkt: √(a · b) = √a · √b. Till exempel √(4 · 9) = 2 · 3 = 6.
- Kvot: √(a / b) = √a / √b. Till exempel √(49 / 4) = 7 / 2 = 3,5.
- Kvadrat och rot tar ut varandra: (√a)² = a, och √(a²) = a när a är positivt.
Och en regel som inte finns, men som många använder ändå: √(a + b) är inte √a + √b. Kontrollera själv: √(9 + 16) = √25 = 5, medan √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Rötter går inte att dela upp över plus och minus, bara över gånger och delat.
Förenkla rötter: √50 = 5√2
Svarsalternativen på högskoleprovet skrivs ofta på förenklad form, så du måste känna igen att √50 och 5√2 är samma tal. Tekniken är att bryta ut det största kvadrattal som delar talet:
√50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2
√72 = √(36 · 2) = 6√2
√48 = √(16 · 3) = 4√3
√200 = √(100 · 2) = 10√2
Hittar du inget kvadrattal som delar talet (som för √30 = √(2 · 3 · 5)) är roten redan förenklad. Här hjälper det att kunna primfaktorisera: varje primtal som förekommer två gånger kan flyttas ut ur roten.
Uppskatta en rot på några sekunder
Det här är den färdighet som ger flest poäng per minut. Metoden: hitta de två kvadrattal som omger talet, och avgör var emellan det ligger.
√40: 36 < 40 < 49, så 6 < √40 < 7. 40 ligger närmare 36, så √40 ≈ 6,3.
√90: 81 < 90 < 100, så √90 ≈ 9,5.
√2: ≈ 1,41 och √3 ≈ 1,73. De två är värda att kunna utantill.
På en KVA-uppgift som jämför √40 med 6,5 räcker det att veta att 6,5² = 42,25 > 40, alltså är 6,5 störst. Du behöver aldrig det exakta värdet, bara vilken sida om gränsen det ligger.
Roten ur på högskoleprovet: tre typiska situationer
- Pythagoras sats. En rätvinklig triangel med kateterna 5 och 12 har hypotenusan √(25 + 144) = √169 = 13. Kan du kvadrattalen känner du igen 169 direkt. Mer i vår guide om Pythagoras sats.
- Area och sida. En kvadrat med arean 200 cm² har sidan √200 = 10√2 ≈ 14,1 cm. Svarsalternativen kan vara skrivna på båda formerna.
- KVA-jämförelser. "Kvantitet I: √50, kvantitet II: 7." Eftersom 7² = 49 < 50 är √50 större. Trettio sekunder, inga uträkningar.
Kubikrot och högre rötter
Kubikroten ur ett tal är det tal som upphöjt till tre ger talet: ∛27 = 3 eftersom 3 · 3 · 3 = 27. Till skillnad från kvadratroten finns kubikroten även för negativa tal: ∛(−8) = −2. Kubikrötter är ovanliga på högskoleprovet, men 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64 och 5³ = 125 är bra att känna igen, inte minst i volymuppgifter.
Rötter kan också skrivas som potenser: √a = a^(1/2) och ∛a = a^(1/3). Det är den kopplingen som gör att potensreglerna gäller för rötter också.
Vanliga frågor
Vad är roten ur 2?
Ungefär 1,414. Det är ett irrationellt tal, så decimalerna tar aldrig slut och upprepar sig aldrig, något som redan de grekiska matematikerna bevisade och som Wolfram MathWorld beskriver under namnet Pythagoras konstant. På högskoleprovet räcker det att veta att √2 ≈ 1,41 och att √2 · √2 = 2.
Kan roten ur ett tal vara negativ?
Symbolen √ anger alltid det icke-negativa värdet, så √25 = 5. Däremot har ekvationen x² = 25 två lösningar, 5 och −5. Skillnaden mellan "roten ur 25" och "lösningarna till x² = 25" är exakt den fälla provet gillar.
Hur räknar man ut roten ur utan miniräknare?
Känn igen kvadrattalen (√144 = 12), bryt ut kvadrattal ur större tal (√50 = 5√2) och uppskatta genom att klämma in talet mellan två kända kvadrattal (√40 ligger mellan 6 och 7, närmare 6).
Vad är roten ur 0 och roten ur 1?
√0 = 0 och √1 = 1. Talen 0 och 1 är de enda tal som är sin egen kvadratrot.
Träna på riktigt
Rötter är en färdighet som sitter efter ett par kvällar: kvadrattalen, de tre reglerna och uppskattningstekniken. Träna gratis på riktiga HP-frågor och se hur ofta roten ur dyker upp mitt i en uppgift. Fler formler finns i vår formelsamling för högskoleprovet.
