Venndiagram: snitt, union och exempel steg för steg

Ett venndiagram är en bild av mängder som överlappar varandra, oftast två eller tre cirklar inuti en rektangel. Varje cirkel är en mängd, området där cirklarna överlappar är det som mängderna har gemensamt, och rektangeln är allt som över huvud taget räknas. Poängen med bilden är att du ser vilka som räknas två gånger. Formeln som följer av den är |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|: antalet i minst en av mängderna är summan av de två minus dem som finns i båda.

Här är begreppen från mängdläran, hur du fyller i ett diagram inifrån och ut, fem räknade exempel, felen som kostar poäng och två egna uppgifter i HP-stil. Diagrammen beskrivs med tabeller, så du kan rita dem själv på ett kladdpapper medan du läser.

Vad är ett venndiagram?

Wikipedia beskriver venndiagram som illustrationer som används i mängdlära för att visa sambandet mellan mängder, vanligen två eller tre överlappande cirklar. Diagrammet har fått sitt namn efter den brittiske logikern John Venn (1834–1923).

En mängd är en samling objekt, och objekten kallas element. Mängden kan vara tal, som A = {1, 2, 3}, men lika gärna personer: alla i klassen som spelar fotboll. Antalet element i en mängd A skrivs |A|. I en undersökning är det talet du skriver i diagrammet.

Mängdlära: snitt och union, differens och komplement

Fem begrepp räcker för nästan alla uppgifter. Definitionerna nedan följer Mattebokens avsnitt om mängdoperationer och om begreppet mängd.

Rektangeln runt cirklarna är grundmängden, som också kallas universalmängden och ofta betecknas U. Den avgör vad komplementet är. Frågar uppgiften efter dem som inte gör någonting av det som räknas upp, är svaret det som ligger i rektangeln men utanför alla cirklar.

Exempel 1: mängder av tal

Låt grundmängden vara U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} och B = {4, 5, 6, 7, 8}.

• A ∩ B = {4, 5, 6}, talen som finns i båda.
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, talen som finns i minst en.
• A \ B = {1, 2, 3} och B \ A = {7, 8}. Ordningen spelar roll i en differens.
• Komplementet till A ∪ B är {9, 10}, talen utanför båda cirklarna.

Räkna antalen: |A| = 6 och |B| = 5, men unionen har 8 element, inte 11. Talen 4, 5 och 6 finns i båda mängderna och får bara räknas en gång.

Formeln för två mängder

Två mängder

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

I exempel 1: 6 + 5 − 3 = 8

Lägger du ihop |A| och |B| har du räknat överlappet två gånger, en gång i varje cirkel. Därför dras det bort en gång. Det är hela idén, och resten av artikeln är varianter av den.

Så fyller du i diagrammet: inifrån och ut

1. Rita rektangeln och cirklarna. Skriv vad varje cirkel står för.
2. Börja i mitten. Skriv antalet som finns i alla mängder på en gång.
3. Arbeta utåt. Varje annat tal du har fått är en hel cirkel eller ett helt överlapp, så dra bort det du redan har skrivit in.
4. Sist kommer området utanför cirklarna: totalen minus summan av allt du har skrivit i cirklarna.
5. Kontrollera. Alla delområden tillsammans ska bli totalen.

Exempel 2: minst en och ingen

I en klass med 30 elever spelar 18 fotboll och 12 innebandy. 5 elever spelar båda. Hur många spelar minst en av sporterna, och hur många spelar ingen?

Börja i mitten: 5 spelar båda. Bara fotboll: 18 − 5 = 13. Bara innebandy: 12 − 5 = 7. Minst en sport: 13 + 5 + 7 = 25, vilket är samma sak som formeln ger, 18 + 12 − 5 = 25. Ingen sport: 30 − 25 = 5.

Exempel 3: överlappet är det okända

Av 40 personer dricker 25 kaffe och 20 te. 3 dricker varken kaffe eller te. Hur många dricker båda?

Minst en av dryckerna: 40 − 3 = 37. Sätt in i formeln: 37 = 25 + 20 − x, alltså x = 45 − 37 = 8. Åtta personer dricker båda. Kontroll: 17 dricker bara kaffe, 12 bara te, 8 båda och 3 ingetdera, och 17 + 12 + 8 + 3 = 40.

Tre mängder

Tre mängder

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

När de tre cirklarna läggs ihop räknas varje parvis överlapp två gånger, så de dras bort. Men då har mitten, där alla tre möts, räknats tre gånger och dragits bort tre gånger. Den måste läggas tillbaka en gång. I praktiken är det ofta enklare att fylla i diagrammet än att använda formeln.

Exempel 4: tre språk

Av 100 studenter läser 50 engelska, 40 spanska och 30 tyska. 15 läser både engelska och spanska, 12 både engelska och tyska, 10 både spanska och tyska, och 5 läser alla tre språken. Hur många läser inget av språken?

Inifrån och ut: mitten är 5. De parvisa talen innehåller mitten, så dra bort den: engelska och spanska men inte tyska 15 − 5 = 10, engelska och tyska men inte spanska 12 − 5 = 7, spanska och tyska men inte engelska 10 − 5 = 5. Sedan det som blir kvar av varje cirkel.

Formeln ger samma sak: 50 + 40 + 30 − 15 − 12 − 10 + 5 = 88. Diagrammet svarar dessutom på följdfrågor som formeln inte når. Exakt ett språk läser 28 + 20 + 13 = 61 studenter, och exakt två språk läser 10 + 7 + 5 = 22.

Venndiagram och sannolikhet

Byt antal mot andelar så fungerar allt på samma sätt. Sannolikheten för minst en av två händelser är P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Det är formeln för två mängder, dividerad med totalen. Grunderna finns i guiden till sannolikhet.

Exempel 5: en slumpvis vald person

I en förening har 50 % av medlemmarna hund, 40 % har katt och 20 % har både hund och katt. En medlem väljs slumpvis.

• Minst ett av djuren: 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7.
• Inget av djuren: 1 − 0,7 = 0,3.
• Exakt ett av djuren: bara hund 0,5 − 0,2 = 0,3 och bara katt 0,4 − 0,2 = 0,2, tillsammans 0,5.

Vanliga fel

1. Dubbelräkning. 18 + 12 = 30 är inte antalet som spelar minst en sport. De som gör båda finns med i båda talen. Dra bort överlappet en gång.
2. Att läsa en hel cirkel som bara. Uppgiften säger att 18 spelar fotboll, inte att 18 spelar bara fotboll. Skriv aldrig cirkelns hela tal i den yttre delen.
3. Att börja utifrån. Med tre mängder går det fel nästan varje gång om du inte börjar i mitten, eftersom de parvisa talen innehåller mitten.
4. Att glömma dem utanför. Minst en och ingen är varandras komplement. Står det en total i uppgiften, kontrollera om någon ligger utanför cirklarna.
5. Att blanda ihop eller och och. I mängdlära betyder eller minst en av dem, alltså även båda. Och betyder överlappet.

Venndiagram på högskoleprovet

Enligt studera.nu ligger den teoretiska svårighetsgraden för provets matematikuppgifter på Matematik 1b-nivå. Matteboken lägger mängdläran i kursen Matte 5, så räkna inte med att symbolerna ∪ och ∩ krävs på provet. Det provet belönar är tankesättet: att dela upp en grupp i delar som inte överlappar, och att se vilken information som saknas. Tre ställen där det hjälper:

• XYZ. Delprovet prövar enligt studera.nu problemlösning inom aritmetik, algebra, geometri, funktionslära och statistik. En textuppgift om en grupp där vissa gör två saker löser du snabbast med två cirklar på kladdpapperet. Mer om delprovet i guiden till XYZ.
• NOG. Här ska du avgöra om två påståenden räcker för att besvara en fråga. Ett diagram med fyra delområden visar direkt hur många tal som är okända och om påståendena låser dem. Upplägget förklaras i guiden till NOG.
• DTK. Delprovet handlar om att hämta och tolka information ur diagram, tabeller och kartor. När en tabell redovisar kategorier som kan överlappa är frågan densamma som i ett venndiagram: vilka har räknats i mer än en kolumn? Läs mer i guiden till DTK.

Uppgift 1 (XYZ-stil)

Av 80 deltagare på en kurs läser 48 matematik och 40 fysik. 12 deltagare läser inget av ämnena. Hur många läser både matematik och fysik?

A: 8
B: 12
C: 20
D: 28

Lösning: Minst ett ämne läser 80 − 12 = 68 deltagare. Formeln ger 68 = 48 + 40 − x, alltså x = 88 − 68 = 20. Svaret är C. Alternativ A är fällan för den som glömmer de 12 utanför cirklarna och räknar 88 − 80 = 8.

Uppgift 2 (NOG-stil)

I en klass går 28 elever. Alla spelar minst ett av instrumenten gitarr och piano. Hur många elever spelar båda instrumenten?

(1) 17 elever spelar gitarr.
(2) 15 elever spelar piano.

Tillräcklig information för lösningen erhålls
A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena

Lösning: Ingen ligger utanför cirklarna, så unionen är 28. Med bara (1) vet du att 11 spelar enbart piano, men inte hur de 17 gitarristerna fördelar sig. Med bara (2) är läget detsamma åt andra hållet. Tillsammans ger formeln 28 = 17 + 15 − x, alltså x = 4. Svaret är C.

Vanliga frågor

Vad är ett venndiagram?

En bild där mängder ritas som överlappande cirklar. Överlappet visar vad mängderna har gemensamt, och området utanför cirklarna visar det som inte tillhör någon av dem.

Vad är skillnaden mellan snitt och union?

Snittet A ∩ B är de element som finns i både A och B, alltså överlappet. Unionen A ∪ B är de element som finns i minst en av mängderna, alltså hela området som cirklarna täcker.

Hur räknar man ut hur många som finns i minst en av två grupper?

Lägg ihop grupperna och dra bort dem som finns i båda: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Spelar 18 fotboll, 12 innebandy och 5 båda, är det 18 + 12 − 5 = 25 som spelar minst en sport.

Hur fyller man i ett venndiagram med tre cirklar?

Börja i mitten med dem som finns i alla tre mängderna. Dra sedan bort mitten från varje parvist överlapp, och till sist det du redan har skrivit in från varje hel cirkel. Kontrollera att delarna tillsammans blir totalen.

Kommer venndiagram på högskoleprovet?

Provet kräver inte mängdlärans symboler, men uppgifter om grupper som överlappar går att lösa med två eller tre cirklar. Tekniken är användbar i XYZ och NOG och när du läser tabeller i DTK.

Nästa steg

Rita diagrammet varje gång en uppgift nämner två egenskaper hos samma grupp, tills det går av sig självt. Träna gratis på HP-frågor och se hur ofta en snabb skiss avgör uppgiften. Fler områden som de kvantitativa delproven bygger på finns i guiden till matematiken på högskoleprovet.