Vad är sannolikhet? Formel, regler och räkneexempel

Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som beskriver hur troligt det är att något inträffar. Värdet 0 betyder att händelsen är omöjlig och 1 betyder att den är helt säker, och däremellan ligger allt som kan hända med olika stor chans. Sannolikhet kan lika gärna skrivas i procent, från 0 % till 100 %. I den här guiden lär du dig den klassiska sannolikhetsformeln, hur du hanterar flera händelser med multiplikation och addition, hur träddiagram fungerar, och du får flera räknade exempel med tärningar, kort och lotter.

Vad är sannolikhet?

Sannolikhet, ibland kallat sannolikhetslära, är den del av matematiken som handlar om slumpen och hur troliga olika händelser är. En sannolikhet är alltid ett tal mellan 0 och 1. Är sannolikheten 0 kan händelsen inte inträffa, är den 1 är den säker, och ligger den på 0,5 är det precis lika troligt att händelsen sker som att den inte sker.

Samma sak kan uttryckas i procent: sannolikheten 0,5 är detsamma som 50 %, och 0,25 är 25 %. När en väderprognos säger att det är 30 % risk för regn är det en sannolikhet på 0,3. Sannolikhetslära är ett återkommande område på högskoleprovets matematikdel och hör nära ihop med statistik, där du också möter begrepp som medelvärde och standardavvikelse.

Klassisk sannolikhet: formeln

Den grundläggande sannolikhetsformeln, ofta kallad klassisk sannolikhet, fungerar när alla utfall är lika troliga. Då räknar du helt enkelt antalet gynnsamma utfall delat på antalet möjliga utfall:

Tänk dig att du slår en vanlig tärning. Det finns sex möjliga utfall (1 till 6), och alla är lika troliga. Sannolikheten att slå en sexa är då P(6) = 1/6 ≈ 0,17, alltså ungefär 17 %. Vill du i stället veta sannolikheten att slå ett jämnt tal är de gynnsamma utfallen 2, 4 och 6, alltså tre stycken: P(jämnt) = 3/6 = 1/2 = 0,5, eller 50 %.

Komplementsannolikhet

Ibland är det enklare att räkna ut sannolikheten för att något inte händer. Eftersom alla sannolikheter tillsammans alltid blir 1, gäller att sannolikheten för att en händelse inte inträffar är 1 minus sannolikheten för att den inträffar:

Sannolikheten att inte slå en sexa är alltså P(inte 6) = 1 − 1/6 = 5/6 ≈ 0,83. Komplementet är särskilt användbart i uppgifter som frågar efter sannolikheten för "minst en" av något – då är det nästan alltid smartast att räkna ut sannolikheten för "ingen" och dra bort den från 1.

Sannolikhet vid flera händelser

Riktigt användbar blir sannolikhetsläran när du kombinerar flera händelser. Då finns det två centrala regler – en för "och" och en för "eller".

Oberoende händelser. Två händelser är oberoende när utfallet av den ena inte påverkar den andra. För att båda ska inträffa multiplicerar du deras sannolikheter (multiplikationsregeln). Sannolikheten att slå två sexor i rad med en tärning är P(6 och 6) = 1/6 · 1/6 = 1/36 ≈ 0,028.

Beroende händelser. När utfallet av den första händelsen påverkar den andra är de beroende. Då måste du anpassa den andra sannolikheten efter vad som redan hänt. Drar du två kort ur en kortlek på 52 kort utan att lägga tillbaka det första, är sannolikheten att båda blir ess P(två ess) = 4/52 · 3/51 = 1/221 ≈ 0,0045. Lägg märke till att både täljaren och nämnaren minskar med ett i det andra steget, eftersom ett kort (och ett ess) redan är borttaget.

Antingen eller. Vill du veta sannolikheten att minst en av två händelser inträffar använder du additionsregeln. Du adderar sannolikheterna men drar bort sannolikheten för att båda inträffar, så att överlappet inte räknas två gånger. Drar du ett kort är sannolikheten att det är en hjärter eller en kung P(hjärter eller kung) = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13 ≈ 0,31. Det enda kort som är både hjärter och kung – hjärter kung – får annars räknas dubbelt.

Träddiagram för stegvisa sannolikheter

När en händelse sker i flera steg är ett träddiagram det bästa verktyget. Varje gren visar en möjlig väg, och du multiplicerar sannolikheterna längs en gren och adderar mellan olika grenar som leder till samma resultat.

Säg att du har en skål med 3 röda och 2 blå kulor och drar 2 kulor utan att lägga tillbaka. Träddiagrammet ger fyra möjliga vägar, och deras sannolikheter summerar alltid till 1:

Vill du veta sannolikheten att få en av varje färg adderar du de två grenar som ger det: P(en röd och en blå) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5 = 0,6. Och precis som det ska vara blir summan av alla fyra utfallen 6/20 + 6/20 + 6/20 + 2/20 = 20/20 = 1.

Räkneexempel: sannolikhet steg för steg

Här är sex exempel med stigande svårighetsgrad, från en enkel tärning till lottdragning.

Exempel 1 – tärning: Sannolikheten att slå en femma är P(5) = 1/6 ≈ 0,17, eftersom det finns ett gynnsamt utfall av sex möjliga.

Exempel 2 – flera gynnsamma utfall: Sannolikheten att slå ett tal större än 4 (alltså 5 eller 6) är P(>4) = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33.

Exempel 3 – komplement: Vad är sannolikheten att få minst en sexa när du slår två tärningar? Räkna komplementet: sannolikheten för ingen sexa är (5/6)² = 25/36, så P(minst en sexa) = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,31.

Exempel 4 – beroende händelser: Du drar två kort ur en kortlek utan återläggning. Sannolikheten att båda är ess är 4/52 · 3/51 = 12/2652 = 1/221 ≈ 0,0045.

Exempel 5 – antingen eller utan överlapp: Du drar ett kort. Sannolikheten att det är ett ess eller en kung är 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13 ≈ 0,15. Här finns inget kort som är både ess och kung, så det finns inget överlapp att dra bort – till skillnad från hjärter-eller-kung ovan, där hjärter kung räknas i båda.

Exempel 6 – lottdragning: Bland 100 lotter finns 1 vinst. Köper du 3 lotter, vad är sannolikheten att minst en vinner? Sannolikheten att ingen av dina lotter vinner är 99/100 · 98/99 · 97/98 = 97/100, så P(minst en vinst) = 1 − 97/100 = 3/100 = 0,03, alltså 3 %.

Sannolikhet på högskoleprovet

På högskoleprovet möter du sannolikhet framför allt på två delprov. På KVA kan en uppgift be dig jämföra två sannolikheter och avgöra vilken som är störst, utan att du nödvändigtvis behöver räkna ut exakta värden. På NOG handlar det om att avgöra om den givna informationen räcker för att bestämma en sannolikhet.

Det vanligaste misstaget är att blanda ihop "och" med "eller" – kom ihåg att "och" (att båda händelserna inträffar) betyder att du multiplicerar, medan "eller" (att minst en inträffar) betyder att du adderar. Att kräva att båda inträffar ger aldrig en större sannolikhet än den minsta av de enskilda, medan "eller" aldrig ger en mindre sannolikhet än den största – men låt själva uppgiften, inte storleken på svaret, avgöra vilken regel du använder. För oberoende händelser multiplicerar du sannolikheterna rakt av; för beroende händelser multiplicerar du fortfarande, men med den anpassade andra sannolikheten. Du hittar fler formler i vår formelsamling för högskoleprovet, och du kan träna på riktiga provfrågor med direkt feedback. Sannolikhet hänger också ihop med statistikens lägesmått, som median.

Vanliga frågor om sannolikhet

Vad är sannolikhet?

Sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som beskriver hur troligt det är att en händelse inträffar. 0 betyder omöjligt och 1 betyder säkert. Sannolikheten kan också skrivas i procent, från 0 % till 100 %.

Hur räknar man sannolikhet?

Med klassisk sannolikhet räknar du antalet gynnsamma utfall delat på antalet möjliga utfall, P(A) = gynnsamma / möjliga. Sannolikheten att slå en sexa med en tärning är till exempel 1/6, eftersom det finns ett gynnsamt utfall av sex möjliga.

Vad är oberoende händelser?

Två händelser är oberoende när utfallet av den ena inte påverkar den andra, till exempel två separata tärningskast. För oberoende händelser räknar du ut sannolikheten att båda inträffar genom att multiplicera deras sannolikheter: P(A och B) = P(A) · P(B).

Hur räknar man sannolikheten att båda händelserna inträffar?

Är händelserna oberoende multiplicerar du sannolikheterna, P(A) · P(B). Är de beroende, som att dra två kort utan återläggning, anpassar du den andra sannolikheten efter vad som redan hänt – till exempel 4/52 · 3/51 för två ess.

Vad är ett träddiagram?

Ett träddiagram är ett sätt att rita upp en händelse som sker i flera steg, där varje gren visar en möjlig väg. Du multiplicerar sannolikheterna längs en gren och adderar mellan grenar som leder till samma resultat. Det gör stegvisa sannolikheter mycket lättare att hålla reda på.

Vill du läsa mer om begreppets matematiska bakgrund finns en översikt om sannolikhet hos Wikipedia.