Standardavvikelse: vad det är och hur du räknar ut den

Standardavvikelse är ett spridningsmått som visar hur mycket värdena i en datamängd avviker från medelvärdet. En liten standardavvikelse betyder att värdena ligger tätt samlade kring medelvärdet, medan en stor standardavvikelse betyder att de är utspridda. Där medelvärdet talar om var mitten ligger, talar standardavvikelsen om hur stor spridningen är. I den här guiden lär du dig formeln, hur du räknar ut standardavvikelsen steg för steg och hur du tolkar resultatet.

Vad är standardavvikelse?

Lägesmått som medelvärde och median talar om var tyngdpunkten i en datamängd ligger, men de säger ingenting om hur utspridda värdena är. Två klasser kan ha exakt samma medelbetyg trots att den ena är väldigt jämn och den andra har både toppresultat och underkända. För att fånga den skillnaden behöver du ett spridningsmått, och det vanligaste är standardavvikelsen.

Standardavvikelsen mäter hur långt värdena i genomsnitt ligger från medelvärdet. Ju mer värdena varierar, desto större blir standardavvikelsen. Den betecknas oftast med den grekiska bokstaven σ (sigma) och är ett centralt begrepp i all statistik, från betyg och provresultat till mätningar inom teknik och naturvetenskap.

Formeln för standardavvikelse

Formeln ser krångligare ut än den är. I grunden är standardavvikelsen roten ur medelvärdet av de kvadrerade avvikelserna från medelvärdet:

Med matematiska symboler skrivs samma formel σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / n). Här betyder Σ (stora sigma) "summan av alla", xᵢ är varje enskilt värde, μ (my) är medelvärdet och n är antalet värden. Det ser avskräckande ut, men säger exakt samma sak som meningen ovanför.

Talet under rottecknet – summan av de kvadrerade avvikelserna delat på antalet – kallas variansen. Standardavvikelsen är alltså helt enkelt kvadratroten ur variansen. Anledningen till att man tar roten på slutet är att standardavvikelsen då får samma enhet som de ursprungliga värdena, vilket gör den lättare att tolka än variansen.

Så räknar du ut standardavvikelsen steg för steg

Dela alltid upp uträkningen i fem steg, så blir den hanterbar:

1. Räkna ut medelvärdet av alla värden.
2. Räkna ut varje värdes avvikelse från medelvärdet (värde − medelvärde).
3. Kvadrera varje avvikelse, så att de negativa talen blir positiva.
4. Räkna ut medelvärdet av de kvadrerade avvikelserna – det är variansen.
5. Ta kvadratroten ur variansen – resultatet är standardavvikelsen.

Räkneexempel: standardavvikelse steg för steg

Vi börjar med ett komplett exempel och jämför sedan två datamängder med samma medelvärde men olika spridning.

Exempel 1 – en fullständig uträkning. Datamängden 2, 4, 6 och 8.

• Steg 1 – medelvärde: (2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 20 / 4 = 5.
• Steg 2 – avvikelser: 2 − 5 = −3, 4 − 5 = −1, 6 − 5 = 1, 8 − 5 = 3.
• Steg 3 – kvadrerade avvikelser: (−3)² = 9, (−1)² = 1, 1² = 1, 3² = 9.
• Steg 4 – varians: (9 + 1 + 1 + 9) / 4 = 20 / 4 = 5.
• Steg 5 – standardavvikelse: √5 ≈ 2,24.

Exempel 2 – samma medelvärde, olika spridning. Jämför datamängd A (5, 5, 5, 5) med datamängd B (1, 3, 7, 9). Båda har medelvärdet 5. I A är alla värden lika, så varje avvikelse är 0 och standardavvikelsen blir 0 – ingen spridning alls. I B är avvikelserna −4, −2, 2 och 4, vilket ger de kvadrerade avvikelserna 16, 4, 4 och 16. Variansen blir (16 + 4 + 4 + 16) / 4 = 40 / 4 = 10, och standardavvikelsen √10 ≈ 3,16. Samma medelvärde, men helt olika spridning – det är precis det standardavvikelsen fångar.

Varför kvadrerar man avvikelserna?

Ett naturligt frågetecken är varför man kvadrerar avvikelserna i steg 3 i stället för att bara summera dem. Svaret är att avvikelserna annars skulle ta ut varandra. Eftersom vissa värden ligger över medelvärdet (positiv avvikelse) och andra under (negativ avvikelse), blir summan av alla avvikelser alltid exakt noll – ett oanvändbart mått på spridning.

Genom att kvadrera blir alla avvikelser positiva, och dessutom väger stora avvikelser tyngre än små: ett värde som ligger långt från medelvärdet påverkar resultatet mer än ett som ligger nära. På slutet tar man kvadratroten för att komma tillbaka till samma enhet som de ursprungliga värdena. Det är hela tanken bakom standardavvikelsen, och skillnaden mot variansen, som stannar kvar i kvadrerad enhet.

Population eller stickprov? n eller n − 1

Hittills har vi delat summan av de kvadrerade avvikelserna med antalet värden, n. Det ger populationens standardavvikelse, som betecknas σ och används när datamängden omfattar alla värden du är intresserad av – hela populationen.

Ofta har du dock bara ett stickprov, ett urval ur en större population, och vill använda det för att uppskatta hela populationens spridning. Då delar du i stället med n − 1, och måttet kallas stickprovets standardavvikelse och betecknas s:

Att dela med n − 1 i stället för n kallas Bessels korrektion. Den kompenserar för att ett stickprov i genomsnitt tenderar att underskatta den verkliga spridningen, eftersom värdena ligger minst lika nära sitt eget medelvärde som populationens – och i genomsnitt något närmare. Med n − 1 blir uppskattningen i genomsnitt mer rättvis. Skillnaden mellan de två varianterna är märkbar för små datamängder men försvinnande liten för stora.

I svensk gymnasiematematik (Matematik 2) är det populationsvarianten med n som är standard och den du normalt räknar med. Inom statistik på högskolenivå används däremot nästan alltid stickprovsvarianten med n − 1. På högskoleprovet behöver du inte välja mellan dem – du förväntas sällan räkna ut en standardavvikelse för hand – men det är bra att känna till att båda finns.

På de flesta räknare som svenska elever använder, till exempel Texas TI-82/84 och nyare Casio-modeller, heter knapparna σ_x för populationen och S_x (ibland s_x) för stickprovet. På vissa äldre räknare står det i stället σ_n respektive σ_n−1. Notera dock att räknare inte är tillåtna på själva högskoleprovet.

Vad betyder standardavvikelsen?

Standardavvikelsen tolkas alltid i förhållande till datan. En liten standardavvikelse betyder att värdena ligger nära medelvärdet och att datan är homogen. En stor standardavvikelse betyder att värdena är utspridda. Är standardavvikelsen exakt 0 är alla värden identiska.

Eftersom standardavvikelsen har samma enhet som värdena kan du jämföra den direkt med medelvärdet. Om medelbetyget är 15 och standardavvikelsen 2 ligger de flesta resultat ungefär mellan 13 och 17. Faktum är att om datan är normalfördelad (formad som en klockkurva) ligger ungefär 68 % av värdena inom en standardavvikelse från medelvärdet, cirka 95 % inom två standardavvikelser och hela 99,7 % inom tre. Det här kallas 68-95-99,7-regeln (eller empiriska regeln) och gör standardavvikelsen till ett kraftfullt sätt att beskriva hur "typiska" eller "ovanliga" enskilda värden är.

Standardavvikelse på högskoleprovet

Du behöver sällan räkna ut en hel standardavvikelse för hand på högskoleprovet – uträkningen är för tidskrävande för provets tempo. Det viktiga är att du förstår vad den betyder. På KVA kan du till exempel behöva avgöra vilken av två datamängder som har störst spridning, och på DTK kan du få tolka diagram där spridningen spelar roll.

Standardavvikelsen hänger också ihop med hur spridda provresultaten är: ju större spridning i skribenternas poäng, desto mer skiljer sig resultaten åt. Vill du förstå hur råpoängen räknas om till den normerade skalan 0,00–2,00 och vad snittet betyder, läs guiden om snittet på högskoleprovet, och alla mått finns samlade i vår formelsamling för högskoleprovet.

Vanliga frågor om standardavvikelse

Vad är standardavvikelse?

Standardavvikelse är ett spridningsmått som visar hur mycket värdena i en datamängd avviker från medelvärdet. En liten standardavvikelse betyder att värdena ligger samlade nära medelvärdet, en stor att de är utspridda.

Hur räknar man ut standardavvikelse?

Räkna först ut medelvärdet. Ta sedan varje värde minus medelvärdet, kvadrera avvikelserna, räkna ut deras medelvärde (variansen) och ta till sist kvadratroten ur variansen. För 2, 4, 6, 8 blir standardavvikelsen √5 ≈ 2,24.

Vad är skillnaden mellan varians och standardavvikelse?

Variansen är medelvärdet av de kvadrerade avvikelserna, och standardavvikelsen är kvadratroten ur variansen. Standardavvikelsen har samma enhet som värdena, vilket gör den lättare att tolka, medan variansen anges i kvadrerad enhet.

Vad betyder en hög standardavvikelse?

En hög standardavvikelse betyder att värdena är spridda långt från medelvärdet, alltså att datan varierar mycket. En låg standardavvikelse betyder att värdena ligger nära medelvärdet och att datan är jämn.

Vad är skillnaden mellan standardavvikelse och medelvärde?

Medelvärdet är ett lägesmått som visar var mitten av datan ligger, medan standardavvikelsen är ett spridningsmått som visar hur mycket värdena avviker från den mitten. De beskriver alltså två olika saker och används ofta tillsammans.

Behöver man standardavvikelse på högskoleprovet?

Du behöver sällan räkna ut en standardavvikelse för hand på högskoleprovet – uträkningen är för tidskrävande för provets tempo. Däremot bör du förstå vad den betyder, eftersom du kan behöva jämföra spridningen i två datamängder eller tolka diagram där spridningen spelar roll, framför allt på KVA och DTK.

Vill du läsa mer om begreppets matematiska bakgrund finns en översikt om standardavvikelse hos Wikipedia.