Senast uppdaterad: 22 mars 2026
Vad är pq-formeln och varför behöver du den på HP
PQ-formeln är en formel som löser andragradsekvationer på formen x² + px + q = 0. Den ger dig lösningen direkt genom att sätta in värdena för p och q. Formeln ser ut så här:
x = -p/2 ± √((p/2)² - q)
På XYZ-delen av högskoleprovet dyker andragradsekvationer upp regelbundet. De kan vara förklädda som geometriproblem, hastighetsproblem eller rena ekvationer. Oavsett hur frågan är formulerad är pq-formeln det snabbaste sättet att lösa dem.
Till skillnad från att gissa sig fram eller faktorisera fungerar pq-formeln alltid, på varje andragradsekvation. Det gör den till det mest pålitliga verktyget du kan ha i din formelsamling inför högskoleprovet.
Två krav som måste uppfyllas först
Innan du sätter in värden i pq-formeln måste ekvationen vara på rätt form. Det finns exakt två krav, och om du missar något av dem blir svaret fel.
| Krav |
Problem |
Lösning |
| Koefficienten framför x² = 1 |
2x² + 6x + 4 = 0 |
Dividera allt med 2 → x² + 3x + 2 = 0 |
| Högerledet = 0 |
x² + 4x + 3 = 7 |
Subtrahera 7 → x² + 4x - 4 = 0 |
Dessa omvandlingar tar bara några sekunder. Hoppa aldrig över dem. Det vanligaste felet elever gör är att stoppa in värden i formeln innan ekvationen är på rätt form.
Steg-för-steg: använd pq-formeln rätt
Här är den exakta processen du följer varje gång. Vi använder ekvationen x² + 5x + 6 = 0 som genomgående exempel.
Steg 1: Identifiera p och q
Ekvationen är redan på formen x² + px + q = 0. Avläs direkt: p = 5 och q = 6. Tecknet framför talen är en del av värdet. Om det stod x² - 4x + 3 = 0 hade p varit -4, inte 4.
Steg 2: Sätt in i formeln
x = -5/2 ± √((5/2)² - 6)
Steg 3: Räkna ut diskriminanten (värdet under roten)
- (5/2)² = 2,5² = 6,25
- 6,25 - 6 = 0,25
- √0,25 = 0,5
Diskriminanten är positiv (0,25 > 0), så vi får två lösningar.
Steg 4: Beräkna båda lösningarna
- x₁ = -2,5 + 0,5 = -2
- x₂ = -2,5 - 0,5 = -3
Steg 5: Kontrollera svaren
Sätt in x = -2: (-2)² + 5·(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓
Sätt in x = -3: (-3)² + 5·(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✓
Exempel 2: x² - 7x + 12 = 0
Här är p = -7 och q = 12:
- x = -(-7)/2 ± √((-7/2)² - 12) = 3,5 ± √(12,25 - 12) = 3,5 ± √0,25 = 3,5 ± 0,5
- x₁ = 3,5 + 0,5 = 4
- x₂ = 3,5 - 0,5 = 3
Exempel 3 (HP-stil): En rektangels area är 24 cm² och omkretsen 20 cm. Bestäm sidorna.
Om sidorna kallas x och y gäller: x · y = 24 och 2x + 2y = 20, alltså y = 10 - x. Insättning ger x(10 - x) = 24 → x² - 10x + 24 = 0. Med p = -10 och q = 24:
- x = 5 ± √(25 - 24) = 5 ± 1
- x₁ = 6, x₂ = 4. Sidorna är 6 cm och 4 cm.
Den här typen av textuppgift dyker upp på XYZ-delen och löses snabbast med pq-formeln.
Diskriminanten: hur många lösningar har ekvationen?
Diskriminanten är uttrycket under rottecknet: (p/2)² - q. Den berättar omedelbart hur många lösningar ekvationen har, innan du ens räknar klart.
| Diskriminant |
Antal lösningar |
Grafiskt |
Exempel |
| (p/2)² - q > 0 |
Två reella lösningar |
Parabeln skär x-axeln på två ställen |
x² + 3x + 2 = 0 → D = 0,25 |
| (p/2)² - q = 0 |
En dubbelrot |
Parabeln tangerar x-axeln |
x² + 2x + 1 = 0 → D = 0 |
| (p/2)² - q < 0 |
Inga reella lösningar |
Parabeln skär aldrig x-axeln |
x² + 1 = 0 → D = -1 |
På högskoleprovet kan du använda diskriminanten som en snabbkontroll. Om du räknar ut att diskriminanten är negativ vet du direkt att ekvationen saknar lösning, och kan gå vidare till nästa fråga utan att slösa tid.
PQ-formeln vs ABC-formeln
I Sverige använder vi nästan uteslutande pq-formeln, medan abc-formeln (även kallad den allmänna lösningsformeln) är standard internationellt. Båda löser andragradsekvationer, men de har olika fördelar.
| Egenskap |
PQ-formeln |
ABC-formeln |
| Standardform |
x² + px + q = 0 |
ax² + bx + c = 0 |
| Krav |
Koefficienten framför x² måste vara 1 |
Inga krav på koefficienter |
| Förarbete |
Ibland division för att få x²-koefficient = 1 |
Inget förarbete krävs |
| Beräkningar |
Enklare (färre termer) |
Mer komplexa (fler termer) |
| Används i Sverige |
Ja, standard på HP och NP |
Sällan |
Du behöver bara kunna pq-formeln för högskoleprovet. Den är enklare att räkna med och det är vad som förväntas. Om du har ont om tid, satsa helt på att bli snabb med pq-formeln istället för att lära dig båda.
Vanliga misstag och hur du undviker dem
Samma fel dyker upp gång på gång. Här är de fem vanligaste misstagen och hur du undviker dem på XYZ-delen:
- Hoppar över omskrivning till rätt form. Om koefficienten framför x² inte är 1 måste du dividera hela ekvationen först. Annars blir allt fel.
- Fel tecken på p. I x² - 4x + 3 = 0 är p = -4, inte 4. Tecknet är en del av värdet.
- Glömmer parentesen vid (p/2)². Det ska vara (p/2)² - q, inte p/2² - q. Utan parentesen kvadrerar du bara 2:an.
- Bara en lösning. Formeln ger två lösningar via ±. Skriv alltid upp båda, annars missar du halva svaret.
- Kontrollerar inte svaret. Sätt in dina x-värden i originalekvationen. Det tar 10 sekunder och fångar slarvfel.
Så övar du inför högskoleprovet
Att kunna pq-formeln i teorin räcker inte. Du behöver bygga upp hastighet och säkerhet så att du löser ekvationer reflexmässigt under provets tidspress.
Vecka 1-2: Grunden. Börja med 5-10 enkla ekvationer per dag där p och q är små heltal. Fokusera på att följa alla steg korrekt utan att stressa. Använd vår formelsamling som referens.
Vecka 3-4: Tempo. Öva med timer. Sikta på att lösa en ekvation på under 60 sekunder. Testa dig själv med vårt HP-quiz för att se var du ligger.
Vecka 5+: Provliknande uppgifter. Blanda in textuppgifter och geometriproblem som kräver att du först ställer upp ekvationen. Det är så frågorna ser ut på XYZ-delen. Kombinera med KVA-träning för att täcka hela den kvantitativa delen.
Skapa en tydlig studieplan och följ den. Regelbunden övning 2-3 gånger i veckan under 4-6 veckor räcker för att göra pq-formeln till en automatisk reflex.
Vanliga frågor om pq-formeln
Vad är pq-formeln?
PQ-formeln är x = -p/2 ± √((p/2)² - q) och löser alla andragradsekvationer på formen x² + px + q = 0. Den ger upp till två lösningar beroende på diskriminantens värde.
Hur vet jag om jag kan använda pq-formeln direkt?
Ekvationen måste uppfylla två krav: koefficienten framför x² ska vara exakt 1, och högerledet ska vara 0. Om något av kraven inte är uppfyllt behöver du omforma ekvationen först.
Vad händer om diskriminanten är negativ?
Om (p/2)² - q är mindre än noll saknar ekvationen reella lösningar. Du kan inte dra roten ur ett negativt tal (inom reella tal). På högskoleprovet betyder det att du kan utesluta svarsalternativ som förutsätter en lösning.
Behöver jag kunna abc-formeln på högskoleprovet?
Nej. PQ-formeln räcker för alla andragradsekvationer du kan möta på högskoleprovet. ABC-formeln används främst internationellt och förekommer inte som krav på HP.
Hur ofta dyker andragradsekvationer upp på XYZ-delen?
Andragradsekvationer är en av de vanligaste uppgiftstyperna på XYZ-delen. De kan komma som rena ekvationer, geometriproblem eller som en del av en textuppgift. Räkna med minst 2-4 uppgifter per provomgång som kräver pq-formeln eller liknande ekvationslösning.
Finns det ett snabbare sätt att lösa andragradsekvationer?
Faktorisering kan vara snabbare om ekvationen har "snygga" lösningar (heltal). Men pq-formeln fungerar alltid, oavsett om lösningarna är decimaler, bråk eller irrationella tal. På provet under tidspress är det säkrast att använda pq-formeln som standardmetod och bara faktorisera när du direkt ser lösningen.
