En parallellogram är en fyrhörning där motstående sidor är parallella. Arean är basen gånger höjden, A = b · h, där höjden är det vinkelräta avståndet mellan basen och sidan mittemot. Omkretsen är summan av sidorna, O = 2a + 2b. En parallellogram med sidorna 8 cm och 5 cm och höjden 4 cm mot den långa sidan har alltså arean 8 · 4 = 32 cm² och omkretsen 26 cm.
Här går vi igenom definitionen, egenskaperna för sidor, vinklar och diagonaler, varför areaformeln fungerar, specialfallen romb, rektangel och kvadrat, och tre egna uppgifter i HP-stil.
Vad är en parallellogram?
Parallellogram
En fyrhörning med två par parallella sidor.
Area: A = b · h
Omkrets: O = 2a + 2b
Svensk ordbok definierar ordet som en fyrhörning med parvis parallella sidor och anger att det kommer från grekiskan. Ordet kan vara både en- och ett-ord: en parallellogram och ett parallellogram är båda korrekta.
Namnet säger nästan allt. Två par sidor är parallella, och av det följer resten av egenskaperna. Rita två parallella linjer, skär dem med två andra parallella linjer, och området i mitten är en parallellogram.
Egenskaper hos en parallellogram
| Del |
Vad som gäller |
| Sidor | Motstående sidor är parallella och lika långa |
| Vinklar | Motstående vinklar är lika stora, två vinklar intill varandra är tillsammans 180° |
| Vinkelsumma | 360°, som i alla fyrhörningar |
| Diagonaler | Delar varandra mitt itu, men är i allmänhet varken lika långa eller vinkelräta |
| En diagonal | Delar parallellogrammen i två kongruenta trianglar med halva arean var |
Egenskaperna finns listade i engelskspråkiga Wikipedias artikel om parallellogrammer, och vinklarna går att härleda direkt. Sidan AB är parallell med DC, och sidan AD skär båda. Vinklarna A och D ligger då på samma sida om AD mellan två parallella linjer, och sådana vinklar är tillsammans 180°. Är vinkeln A 70° blir vinkeln D 110°, vinkeln C 70° och vinkeln B 110°. Summan är 360°. Mer om vinklar vid parallella linjer finns i artikeln om vinkelsumma.
Att diagonalerna delar varandra mitt itu betyder att skärningspunkten är mittpunkten på båda diagonalerna. Den ena diagonalen kan vara mycket längre än den andra, men båda halveras.
Arean av en parallellogram: varför b · h fungerar
Klipp av en rätvinklig triangel på ena sidan av parallellogrammen, längs höjden, och flytta den till andra sidan. Den passar exakt, eftersom de två sneda sidorna är lika långa och parallella. Resultatet är en rektangel med samma bas och samma höjd, och rektangelns area är bas gånger höjd. Inget har lagts till och inget har tagits bort, så arean är densamma. Matteboken beskriver höjden som det vinkelräta avståndet mellan basen och motstående sida.
Exempel: Basen är 8 cm, den sneda sidan 5 cm och höjden 4 cm.
A = 8 · 4 = 32 cm²
Figuren går att rita: den sneda sidan på 5 cm, höjden 4 cm och en vågrät förskjutning på 3 cm bildar en rätvinklig triangel med sidorna 3, 4 och 5. Lägg märke till att 8 · 5 = 40 inte är arean. Den sneda sidan är längre än höjden så fort vinklarna inte är räta, och då blir produkten av sidorna för stor.
Vilken sida som helst kan vara bas
Höjden ska alltid mätas mot den sida du kallar bas. I exemplet ovan kan du lika gärna välja den korta sidan, 5 cm, som bas. Arean är fortfarande 32 cm², så höjden mot den korta sidan måste vara 32 / 5 = 6,4 cm. Basen blir kortare och höjden längre, men produkten är densamma.
Area med koordinater
Hörnen A(0, 0), B(6, 0), C(8, 3) och D(2, 3) bildar en parallellogram. Både AB och DC är 6 steg åt höger, och både AD och BC är 2 steg åt höger och 3 uppåt. Basen AB ligger på x-axeln och är 6 lång, och höjden är avståndet upp till linjen y = 3. Arean är 6 · 3 = 18 areaenheter. När en sida ligger på en axel kan du läsa av både bas och höjd direkt, se artikeln om koordinatsystem.
Omkrets
Omkretsen är summan av alla sidor. Eftersom motstående sidor är lika långa räcker det med två mått.
O = 2a + 2b = 2(a + b)
Sidorna 8 cm och 5 cm: O = 2 · 13 = 26 cm
Höjden används inte i omkretsen. Ett vanligt fel är att räkna 2 · 8 + 2 · 4 med höjden i stället för den sneda sidan.
Specialfall: romb, rektangel och kvadrat
Matteboken beskriver rektangeln som ett specialfall av parallellogrammen och kvadraten som ett specialfall av rektangeln. Romben är också en parallellogram, men med alla sidor lika långa.
| Figur |
Extra villkor |
Diagonaler |
Area |
| Parallellogram | Inga | Delar varandra mitt itu | b · h |
| Rektangel | Alla vinklar 90° | Dessutom lika långa | b · h, där h är den andra sidan |
| Romb | Alla sidor lika långa | Dessutom vinkelräta | b · h eller d₁ · d₂ / 2 |
| Kvadrat | Alla vinklar 90° och alla sidor lika | Lika långa och vinkelräta | s² |
Att rektangelns diagonaler är lika långa följer av Pythagoras sats: båda är hypotenusor i rätvinkliga trianglar med kateterna a och b. För romben anger Wikipedia att diagonalerna står vinkelrätt mot varandra och att arean kan räknas som diagonalerna gånger varandra delat med två. Exempel: en romb med diagonalerna 6 cm och 8 cm har arean 6 · 8 / 2 = 24 cm². Eftersom diagonalerna halverar varandra i rät vinkel bildar halvorna 3 och 4 en rätvinklig triangel, och sidan blir 5 cm. Mer om den satsen finns i guiden till Pythagoras sats.
Parallellogrammer på högskoleprovet
Enligt studera.nu ligger provets matematik på Matematik 1b-nivå. Ordet parallellogram är inte det viktiga. Det viktiga är att du kan hitta en höjd, se att en figur kan klippas om till en annan och räkna utan miniräknare. I de kvantitativa provpassen från hösten 2025 fanns till exempel en XYZ-uppgift om arean av ett skuggat område i en rektangel och en KVA-uppgift om trianglar inuti en rektangel.
- XYZ: areor, omkretsar och vinklar i figurer. Se guiden till XYZ.
- KVA: jämför två storheter. Fällan är att anta att en parallellogram är en rektangel.
- NOG: avgör vilken information som räcker. Två sidlängder räcker inte för arean.
Uppgift 1 (XYZ-stil)
I parallellogrammen ABCD är AB = 10 cm och avståndet mellan AB och DC är 6 cm. Punkten E ligger på sidan DC. Hur stor är arean av triangeln ABE?
A: 24 cm²
B: 30 cm²
C: 36 cm²
D: 60 cm²
Lösning: Triangeln har basen AB = 10 cm, och höjden från E ner till AB är avståndet mellan de parallella sidorna, 6 cm. Arean är 10 · 6 / 2 = 30 cm², alltså B. Det spelar ingen roll var på DC punkten E ligger. Triangeln är alltid halva parallellogrammen, och D är hela parallellogrammens area.
Uppgift 2 (KVA-stil)
En parallellogram har sidorna 6 cm och 4 cm.
Kvantitet I: parallellogrammens area i cm²
Kvantitet II: 24
A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig
Lösning: Höjden mot sidan 6 cm är högst 4 cm, så arean är högst 24 cm². Är parallellogrammen en rektangel är arean exakt 24, annars mindre. Båda fallen är möjliga, så svaret är D. Den som antar räta vinklar svarar C.
Uppgift 3 (NOG-stil)
Hur stor är arean av parallellogrammen ABCD?
(1) AB = 7 cm och AD = 4 cm.
(2) Avståndet mellan sidorna AB och DC är 3 cm.
A: i (1) men ej i (2)
B: i (2) men ej i (1)
C: i (1) tillsammans med (2)
D: i (1) och (2) var för sig
E: ej genom de båda påståendena
Lösning: Påstående (1) ger sidorna men inte vinkeln, så arean kan vara allt från nära 0 upp till 28 cm². Påstående (2) ger höjden men inte basen. Tillsammans blir arean 7 · 3 = 21 cm². Svaret är C. Mer om upplägget finns i guiden till NOG.
Vanliga frågor
Hur räknar man ut arean av en parallellogram?
Multiplicera basen med höjden, A = b · h. Höjden är det vinkelräta avståndet mellan basen och motstående sida, inte längden på den sneda sidan.
Vad är skillnaden mellan en parallellogram och en romb?
En romb är en parallellogram där alla fyra sidor är lika långa. Rombens diagonaler är dessutom vinkelräta, vilket de inte är i en vanlig parallellogram.
Är en rektangel en parallellogram?
Ja. En rektangel har två par parallella sidor och är därför ett specialfall av parallellogrammen, med det extra villkoret att alla vinklar är 90°. En kvadrat är i sin tur ett specialfall av rektangeln.
Hur räknar man ut omkretsen av en parallellogram?
Addera alla sidor. Eftersom motstående sidor är lika långa blir det O = 2a + 2b. Sidorna 8 cm och 5 cm ger 26 cm.
Är diagonalerna lika långa i en parallellogram?
Inte i allmänhet. Diagonalerna delar alltid varandra mitt itu, men de är lika långa bara om parallellogrammen är en rektangel.
Heter det en eller ett parallellogram?
Båda är korrekta enligt Svensk ordbok. I bestämd form kan du skriva parallellogrammen eller parallellogrammet.
Nästa steg
Areaformler sitter när du kan se var höjden går utan att tveka. Träna gratis på HP-frågor och rita ut höjden i varje figur du möter, och ha formelsamlingen till hands för de andra figurerna.
