Minsta gemensamma nämnare: så hittar du MGN steg för steg

Minsta gemensamma nämnare, förkortat MGN, är det minsta tal som alla nämnarna i en bråkuppgift går jämnt upp i. Ska du räkna 1/4 + 1/6 är MGN 12, eftersom 12 är det minsta tal som både 4 och 6 delar. Då blir uppgiften 3/12 + 2/12 = 5/12. Du hittar MGN på två sätt: genom att lista multiplar av nämnarna, eller genom att primtalsfaktorisera dem och ta med varje primfaktor så många gånger som den förekommer som mest.

Bråkräkning i stort, med multiplikation, division och blandad form, hittar du i guiden räkna med bråktal. Här handlar det om att hitta nämnaren.

Så definieras minsta gemensamma nämnare

Minsta gemensamma nämnare (MGN)

Det minsta positiva heltal som är delbart med varje nämnare.

MGN för 1/4 och 1/6 är 12.

Matteboken beskriver MGN som det minsta tal som är delbart med nämnarna till två eller fler bråktal. Du behöver en gemensam nämnare för att kunna addera eller subtrahera bråk, och du kan alltid få en genom att multiplicera nämnarna med varandra. Men produkten blir ofta onödigt stor, och MGN ger de minsta talen att räkna med.

Tre begrepp hänger ihop:

• Multipel: talet gånger ett positivt heltal. Multiplarna av 6 är 6, 12, 18, 24 och så vidare.
• Minsta gemensamma multipel (MGM): det minsta tal som är en multipel av båda talen. MGM för 6 och 8 är 24.
• Minsta gemensamma nämnare (MGN): MGM för nämnarna. Det är samma beräkning, bara använd på bråk.

Metod 1: lista multiplarna

För små nämnare är det snabbaste sättet att skriva upp multiplarna tills du hittar ett tal som finns i båda listorna.

Multiplar av 4: 4, 8, 12, 16, 20
Multiplar av 6: 6, 12, 18, 24

MGN(4, 6) = 12

Snabbare: lista bara multiplarna av den största nämnaren och kontrollera om den mindre går jämnt upp. För 8 och 12: 12 är inte delbart med 8, men 24 är det. MGN är alltså 24.

Två fall går att se direkt:

• Den ena nämnaren går jämnt upp i den andra. Då är den större nämnaren MGN. För 1/3 + 1/12 är MGN 12.
• Nämnarna har ingen gemensam faktor utom 1. Då är MGN produkten. För 1/4 + 1/9 är MGN 36.

Metod 2: primtalsfaktorisering

När nämnarna är större, eller när de är fler än två, är det säkrare att dela upp dem i primtal.

1. Primtalsfaktorisera varje nämnare.
2. Gå igenom varje primtal som förekommer och se hur många gånger det finns i den nämnare där det finns flest gånger.
3. Multiplicera ihop primtalen med just de antalen. Produkten är MGN.

Matteboken använder 42 och 48 som exempel. 42 = 2 · 3 · 7 och 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3. Flest tvåor finns i 48 (fyra stycken), trean finns en gång i båda och sjuan en gång i 42. MGN = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 336. Produkten av nämnarna hade varit 42 · 48 = 2 016, sex gånger större.

Exempel med tre nämnare

Kontrollera: 180 / 12 = 15, 180 / 18 = 10 och 180 / 30 = 6. Alla går jämnt upp.

MGN, MGM och SGD hänger ihop

Största gemensamma delare, SGD, går åt andra hållet. Enligt Wikipedia är SGD det största heltal som delar alla talen. Där MGM tar med varje primfaktor så många gånger som den förekommer som mest, tar SGD med de faktorer som talen har gemensamt.

Exemplet 48 och 180: 48 = 2⁴ · 3 och 180 = 2² · 3² · 5. De har två tvåor och en trea gemensamt, så SGD = 2² · 3 = 12. MGM = 2⁴ · 3² · 5 = 720.

För två positiva heltal gäller ett samband som är värt att kunna:

SGD(a, b) · MGM(a, b) = a · b

MGM(a, b) = a · b / SGD(a, b)

Sambandet finns till exempel i engelska Wikipedias artikel om minsta gemensamma multipel. Kontroll med talen ovan: 12 · 720 = 8 640 och 48 · 180 = 8 640. Och för 42 och 48, där SGD är 6: 42 · 48 / 6 = 2 016 / 6 = 336, samma MGN som med primtalsmetoden. Sambandet gäller för två tal åt gången, inte för tre.

SGD utan faktorisering

Är talen svåra att faktorisera fungerar Euklides algoritm: dela det större talet med det mindre och fortsätt med det mindre talet och resten tills resten blir 0. Den sista resten som inte var 0 är SGD. Går divisionen jämnt upp redan i första steget är SGD det mindre talet.

84 = 2 · 36 + 12
36 = 3 · 12 + 0

SGD(84, 36) = 12, så MGM(84, 36) = 84 · 36 / 12 = 252

SGD är också det tal du förkortar med: 42/56 förkortas med SGD 14 och blir 3/4 i ett steg.

Addera bråk med olika nämnare

1. Hitta MGN för nämnarna.
2. Förläng varje bråk så att nämnaren blir MGN. Multiplicera täljaren med samma tal som nämnaren.
3. Addera eller subtrahera täljarna. Nämnaren behålls.
4. Förkorta svaret om det går.

5/12 + 7/18
MGN(12, 18) = 36
= 15/36 + 14/36
= 29/36

Med produkten 216 som nämnare hade du fått 174/216, som sedan måste förkortas med 6. Samma svar, större tal.

Tre bråk, med ett uttryck som finns bland Mattebokens exempel: 5/21 − 3/14 + 1/4. Faktorerna är 21 = 3 · 7, 14 = 2 · 7 och 4 = 2², så MGN = 2² · 3 · 7 = 84. Då blir det 20/84 − 18/84 + 21/84 = 23/84.

Vanliga fel med MGN

1. Att addera nämnarna. 1/3 + 1/4 är inte 2/7. Nämnaren talar om hur stora delarna är, och den ändras inte av att du lägger ihop delar.
2. Att förlänga bara nämnaren. 1/4 blir 3/12, inte 1/12. Täljaren ska multipliceras med samma tal.
3. Att ta med gemensamma faktorer två gånger. 2 · 3 finns i både 42 och 48, men ska bara räknas en gång i MGN.
4. Att blanda ihop MGN och SGD. MGN är minst lika stor som den största nämnaren. SGD är högst lika stor som det minsta talet. Ett svar som bryter mot det är fel.

MGN på högskoleprovet

Enligt studera.nu ligger den teoretiska svårighetsgraden för provets matematikuppgifter på Matematik 1b-nivå, och Matteboken tar upp minsta gemensamma nämnare i sin kurs Matte 1. Miniräknare finns inte bland de tillåtna hjälpmedlen, så du räknar bråk för hand. I anvisningarna för den kvantitativa delen är den rekommenderade tiden 12 minuter för de 12 uppgifterna i XYZ och 10 minuter för de 10 i KVA.

• XYZ. Uttryck med flera bråk går snabbare med MGN än med produkten av nämnarna. Upplägget finns i guiden till XYZ.
• KVA. När två bråk ska jämföras räcker det ofta att skriva dem med gemensam nämnare. Se guiden till KVA.
• Textuppgifter. Frågor om när två upprepade händelser sammanfaller igen är MGM i förklädnad. Två bussar som båda går 08.00, den ena var 12:e minut och den andra var 18:e, går samtidigt igen efter MGM(12, 18) = 36 minuter, alltså 08.36.

Uppgift 1 (XYZ-stil)

Vad är 1/6 + 3/8 − 1/4?

A: 1/8
B: 7/24
C: 3/10
D: 13/24

Lösning: MGN(6, 8, 4) = 24. 4/24 + 9/24 − 6/24 = 7/24, alltså B. Alternativ C får den som räknar täljare för sig och nämnare för sig: (1 + 3 − 1) / (6 + 8 − 4) = 3/10. Alternativ D får den som tappar det sista bråket.

Uppgift 2 (KVA-stil)

Kvantitet I: SGD(36, 60) · MGM(36, 60)
Kvantitet II: 2 000

A: I är större än II
B: II är större än I
C: I är lika med II
D: informationen är otillräcklig

Lösning: Du behöver inte räkna ut SGD och MGM var för sig. Produkten är 36 · 60 = 2 160, som är större än 2 000. Svaret är A. Kontroll: SGD är 12 och MGM är 180, och 12 · 180 = 2 160.

Vanliga frågor

Vad betyder MGN i matte?

MGN står för minsta gemensamma nämnare. Det är det minsta tal som alla nämnarna i en uppgift går jämnt upp i, och det används när bråk med olika nämnare ska adderas eller subtraheras.

Hur räknar man ut minsta gemensamma nämnare?

För små nämnare listar du multiplarna av den största nämnaren tills du hittar en som de andra går jämnt upp i. För större nämnare primtalsfaktoriserar du och tar med varje primtal så många gånger som det förekommer som mest i någon av nämnarna.

Vad är skillnaden mellan MGN och MGM?

Beräkningen är densamma. MGM, minsta gemensamma multipel, gäller vilka heltal som helst. MGN är MGM för nämnarna i en bråkuppgift.

Vad är största gemensamma delare?

Största gemensamma delare, SGD, är det största heltal som delar alla talen. SGD för 48 och 180 är 12. Du använder SGD för att förkorta bråk, och för två tal gäller att SGD gånger MGM är lika med talens produkt.

Nästa steg

MGN sitter när du ser direkt att 4 och 6 ger 12 och att 8 och 12 ger 24, utan att lista multiplar. Träna gratis på HP-frågor och skriv om varje bråksumma med minsta möjliga nämnare innan du räknar, och läs om primtal och delbarhetsregler om faktoriseringen går trögt.